4.2.1等差数列的概念（第2课时）课件—2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 （第二课时） 学习目标 1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质. 2.能用等差数列的性质解决一些相关问题. 3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 如果在a与b中间插入一个数A，使a, A, b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项. 复习引入 1.等差数列的定义 2.等差中项的定义 4.等差数列的函数特征 3.等差数列的通项公式 2A=a+b 一般形式: an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . 例3 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少. 经验表明，每经过一年其价值会减少d(d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年 ，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的范围. 解: 设使用n年后，这台设备的价值为an万元，则可得数列{an}. 由已知条件，得an＝an－1－d (n≥2)， ∴数列{an}是一个公差为－d的等差数列，且a1＝220－d . ∴ an＝a1＋(n－1)(－d)＝220－nd. 由题意，得a10 ≥ 220×5％=11，a11 < 220×5％=11， 例4 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. 例4 已知等差数列{an}的首项a1=2, d = 8, 在{an}中每相邻两项之间都插入3个数, 使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}. (1)求数列{bn}的通项公式. (2) b29是不是数列{an}的项 ? 若是, 它是{an}的第几项 ? 若不是, 请说明理由. （2）[解法一]数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则. 令解得 所以，是数列的第8项. [解法二]∵令， 解得所以，是数列的第8项. 例5 已知数列{an} 是等差数列，p, q, s, t∈N*, 且p+q=s+t，求证: ap+aq= as +at . 思考 例5是等差数列的一条性质，图4.2-2是它的一种情形. 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗? n an O ‧ ‧ ‧ ‧ s p q t as ap aq at S(s,as) P(p,ap) Q(q,aq) T(t,at) 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用an表示第n排的座位数吗? 第10排有多少个座位? n an O • 1 5 6 9 12 15 18 • 2 • • • • 3 4 6 3 课本P17 3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n . 课本P17 4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 课本P17 5. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 课本P17 第三课时 等差数列的性质 等差数列一些常见的性质 （1）通项公式的推广公式： ． （2）若 为等差数列，且 ，则 ． (3)对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和， 即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…. 知识梳理 14 (5)若{an},{bn}分别是公差为d,d′的等差数列, 则 ①数列{c＋an}的公差为 ；②数列{c·an}的公差为 ； ③数列{an＋an＋k}的公差为 ；④数列{pan＋qbn}的公差为 . 2d pd＋qd′ d cd （