第06讲 导数的概念与意义-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第6讲 导数的概念与意义 一、课标要求： 本单元的学习，可以帮助学生通过丰富的实际背景理解导数的概念，希握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题。 内容包括：导数概念及其意义、导数运算、导数在研究函数中的应用、*微积分的创立与发展。 （1）导数概念及其意义 ①通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想。 ②体会极限思想。 ③通过函数图象直观理解导数的几何意义。 （2）导数运算 ①能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数。 ②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数；能求简单的复合函数（限于形如f（ax+b））的导数。 ③会使用导数公式表。 二、知识梳理 一、变化率与导数 1． ①函数从到的平均变化率为：（不一定比大），变式：． 【其中，自变量的增量（可正、可负，但不为0），函数值的增量】 ②函数在处附近的平均变化率为： 【或,】 ③平均变化率的几何意义：割线的斜率； 物理意义：平均速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）． 2． 函数在处的瞬时变化率（导数）：. 变式：① ，②， ③ 【几何意义：切线的斜率；物理意义：瞬时速度（将视为作直线运动时位移关于时间的函数）．】 【导数表示函数在处的瞬时变化率，也反映了函数在附近变化的情况．】 3． 导数的几何意义：函数在处的导数是在点处的切线的斜率，即，因此切线方程是：. 【反之，已知切线的斜率，则由，可求出切点坐标】 ①若在点处的切线过点，则. ②直线与二次函数或二次曲线相切时，也还可考虑用判别式法. 4． 的导(函)数.【斜率函数】 【导(函)数的作用：主要用于了解函数图象的起伏（单调性），解题时要注意定义域．】 5． 平均速度：，瞬时速度：；瞬时加速度．实际上，导数可以描述任何事物的瞬时变化率. 二、导数的计算 1． 几个常用函数的导数：①的导数；② 的导数； ③的导数； ④的导数； ⑤的导数； 2． 基本初等函数的导数公式：①若，则= 0， 简记为= 0(为常数)； ②若，则， 简记为； ③若，则， 简记为； ④若，则， 简记为； ⑤若，则， 简记为； ⑥若，则， 简记为 ⑦若，则， 简记为 ⑧若，则， 简记为 【说明：上述公式一般不能进行变量替换！】； 【】； 3． 和差积商的求导运算法则：①； ②； ③； ④． 4． 复合函数的求导法则复合函数的导数和函数的导数间的关系为.重点掌握型的求导：由，得. 三、查缺补漏 1.导数的定义与运算 例1：函数在闭区间内的平均变化率为（ ） A. B. C. D. 变式：若函数，则当时，函数的瞬时变化率为（ ） A.1 B.－1 C.2 D.－2 例2：设在处可导，则等于（ ） A. B. C. D. 变式：已知函数在处可导，则（ ） A. B. C. D. 例3：已知，则=__________. 变式：已知，则=_____________. 例4：已知，则=______________. 变式：已知，则=______________. 2.导数的几何意义例1：函数f（x）=x4-2x3的图像在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）. A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 变式：设曲线在点（1，1）处的切线与轴的交点的横坐标为，则 等于（ ） A. B. C. D.1 例2：过曲线的点的切线方程为__________________. 变式：（2020全国卷文15）曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为____________________. 四、常用二级结论： 1． 求曲线在处的切线：确定切点坐标，求出斜率，则切线方程为． 2． 求曲线过点的切线：设切点坐标为，利用，即，解方程求得，得到切点坐标及，则可得切线方程：． 【点P可能不在曲线上，或在曲线上但不一定为切点！因此，此问题的答案可能有多解．】 3． 曲线在点处的切线方程为且． 三年真题： 一、选择题 1．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第10题)若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为 (　　) A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第6题)函数的图像在点处的切线方程为 (　　) A． B． C． D． 3．(2021年新高考Ⅰ卷·第7题)若过点可以作曲线的两条切线，则 (　　) A． B． C． D． 4．（多选题）(2022新高考全国I卷·第10题)已知函数，则