1.3 不共线三点确定二次函数的表达式（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（湘教版）

1.3 不共线三点确定二次函数的表达式 第1章 二次函数 优翼九下数学教学课件（XJ） 复习引入 1. 一次函数 y = kx+b( k ≠ 0 ) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2个 2个 导入新课 2. 求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法： (1)设：（表达式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)还原：（写表达式） 探究归纳 问题1 （1）二次函数 y = ax2+bx+c ( a ≠ 0 )中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？ 3个 3个 （2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，要求这个二次函数的表达式. x -3 -2 -1 0 1 2 y 0 1 0 -3 -8 -15 一般式法求二次函数的表达式 新课讲授 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2+bx+c，把 (-3，0)，(-1，0)，（0，-3）代入 y = ax2+bx+c 得 ① 选取 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式. 9a-3b+c=0， a-b+c=0， c = -3， 解得 a= -1， b= -4， c= -3. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -x2-4x-3. 待定系数法 步骤： 1.设： (表达式) 2.代： (坐标代入) 3.解： 方程(组) 4.还原： (写解析式) 这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法. 其步骤是： ①设函数表达式为 y = ax2 + bx + c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到 a，b，c 的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 归纳总结 一般式法求二次函数表达式的方法 例1 一个二次函数的图象经过 (0， 1)、( 2，4)、( 3，10) 三点，求这个二次函数的表达式. 典例精析 解： 设这个二次函数的表达式是 y = ax2 + bx + c，由于这个函数经过点 ( 0， 1)，可得 c =1. 又由于其图象经过 ( 2，4)、( 3，10) 两点，可得 4a+2b+1=4， 9a+3b+1=10， 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？ （1） P（1，-5）， Q（-1，3）， R（2，-3）； （2） P（1，-5）， Q（-1，3）， M（2，-9）. 解 （1）设有二次函数 y = ax2+bx+c，它的图象经过 P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组： a + b + c= -5， a - b+ c = 3， 4a + 2b+c = -3， 解得 a = 2，b = -4，c = -3. 因此，二次函数 y = 2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点. (2) 设有二次函数 y = ax2+bx+c 的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于 a，b，c 的三元一次方程组： a + b + c = -5， a - b + c = 3， 4a + 2b + c = -9， 解得 a =0，b = -4，c = -1. 因此，一次函数 y = - 4x -1 的图象经过 P，Q，M 三点. 这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过 P，Q，M 三点. 问题：例 2 说明了什么？  若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.  二次函数 y = ax2+bx+c 的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 选取顶点 (-2，1) 和点 (1，-8)，试求出这个二次函数的表达式. 解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 +k， 把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 +k 得 y = a(x + 2)2 +1， 再把点(1，-8) 代入上式得 a(1+2)2 + 1 = -8， 解得 a = -1. ∴所求的二次函数的表达式是 y = -(x + 2)2 +1 或 y = -x2 - 4x -3. 利用顶点式求二次函数的表达式 典例精析 例2 一个二次函数的图象经点 ( 0， 1)，它的顶点坐标为( 8，9)，求这个二次函数的表达式. 解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为( 8，9)，因此，可以设函数表达式为 y = a(x - 8)2 + 9. 又由于它的图象经过点(0 ，1)，可得 1 = a(0 -8)2 + 9. 解得 ∴所求的二次函数的表达式是 归纳总结 顶点