24.2 第2课时 垂径分弦（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（沪科版）

第2课时 垂径分弦 24.2 圆的基本性质 第24章 圆 优翼九下数学教学课件（HK） 视频引入 点击视频开始播放→ 导入新课 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，你知 道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 垂径定理及其推论 合作探究 问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O 的一条直径将 ⊙O 折叠，你发现了什么？ O 圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线. 新课讲授 问题2 已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦， 且 CD⊥AB，垂足为 E. 求证：AE = EB， ， . 证明：连接 OA，OB，则 OA = OB. ∵ CD⊥AB，∴ OE⊥AB. ∴ OE 平分 AB，即 CD 垂直平分 AB． ∴ 点 A 与点 B 关于直线 CD 对称. · O A B D E C 分析：只要能说明⊙O 关于直线 CD 对称，那么所有结论都能得证. 同理，如果点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作直线 CD 的垂线，与⊙O 相交于另一点 Q，则点 P 与点 Q 也关于直线 CD 对称． ∴ ⊙O 关于直线 CD 对称. ∴ AE = EB， ， . P · O A B D E C Q 垂径定理 · O A B C D E 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧. ∵ CD 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB， 推导格式： 温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如. 归纳总结 ∴ AE = BE， ， 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么. 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为 AB，CD 都不是直径 O A B C A B O E A B D C O E A B O C D E 垂径定理的几种基本图形： A B O C D E A B O E D A B O D C A B O C 归纳总结 如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？ 思考： 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE. (1) CD⊥AB 吗？为什么？ (2) 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？ · O A B C D E 解：(1) CD⊥AB，理由如下： 连接 AO，BO，如图，则 AO = BO. 又∵AE = BE，OE = OE， ∴△AOE≌△BOE（SSS）. ∴∠AEO =∠BEO = 90°，即 CD⊥AB. (2)由垂径定理可得 = ， = . 思考：“不是直径”这个说明能去掉吗？如果不能，请举出反例. 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 垂径定理的推论 · O A B C D 特别说明： 圆的两条直径是互相平分的. 归纳总结 例 1 如图，⊙O 的半径为 5 cm，弦 AB 为 6 cm，求圆心到弦 AB 的距离. · O A B E 解：连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E， 则 又∵OA = 5 cm，∴在 Rt△OEA 中， 垂径定理及其推论的计算 典例精析 答：圆心到弦 AB 的距离是 4 cm. 圆心到弦的距离叫做弦心距 【变式题】如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA，如图. ∵ OE⊥AB， ∴ AB = 2AE = 2×8 = 16（cm）. 16 ∴ 例 2 如图，⊙O 的弦 AB = 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC = 2 cm，求半径 OC 的长. · O A B E C D 解：连接 OA．∵ CE⊥AB 于 D， ∴ 设 OC = x cm，则 OD = (x － 2) cm. 根据勾股定理，得 解得 x = 5. 即半径 OC 的长为 5 cm. x2 = 42 + ( x－2)2， 例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = . . M C D A B O N 证明：作直径 MN⊥AB，如图. ∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD. 则 = ， = .（垂直 平分弦的直径平分弦所对的弧） ∴ － = － . ∴ = .