1.3 三角函数的计算（Word教案）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（北师大版）

1.3 三角函数的计算 1．熟练掌握用科学计算器求三角函数值；(重点) 2．初步理解仰角和俯角的概念及应用．(难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 一、情境导入 如图①和图②，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．如果楔子斜面的倾斜角为10°，楔子沿水平方向前进5cm(如箭头所示)．那么木桩上升多少厘米？ 观察图②易知，当楔子沿水平方向前进5cm，即BN＝5 cm时，木桩上升的距离为PN. 在Rt△ PBN中，∵tan10°＝，∴PN＝BNtan10°＝5tan10°(cm)． 那么，tan10°等于多少呢？ 对于不是30°，45°，60°这些特殊角的三角函数值，可以利用科学计算器来求． 二、合作探究 探究点一：利用科学计算器解决含三角函数的计算问题 【类型一】 已知角度，用计算器求三角函数值 用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°. 解析：熟练使用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入法取近似值． 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，使用计算器时要注意按键顺序． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题 【类型二】 已知三角函数值，用计算器求锐角的度数 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解析：熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据题目要求用四舍五入取近似值． 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4°；由sinB＝0.01，得∠B≈0.6°； (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4°；由cosB＝0.8，得∠B≈36.9°； (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4°；由tanB＝0.5，得∠B≈26.6°. 方法总结：解决此类问题关键是熟练使用计算器，在使用计算器时要注意按键顺序． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题 【类型三】 利用计算器比较三角函数值的大小 (1)通过计算(可用计算器)，比较下列各对数的大小，并提出你的猜想： ①sin30°________2sin15°cos15°； ②sin36°________2sin18°cos18°； ③sin45°________2sin22.5°cos22.5°； ④sin60°________2sin30°cos30°； ⑤sin80°________2sin40°cos40°. 猜想：已知0°＜α＜45°，则sin2α________2sinαcosα； (2)如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝2α，请根据提示，利用面积方法验证(1)中提出的猜想． 解析：(1)利用计算器分别计算①至⑤各式中左边与右边的值，比较大小；(2)通过计算△ABC 的面积来验证． 解：(1)①＝　②＝　③＝　④＝　⑤＝　猜想：＝ (2)已知0°＜α＜45°，则sin2α＝2sinαcosα. 证明：S△ABC＝AB·sin2α·AC，S△ABC＝×2ABsinα·ACcosα，∴sin2α＝2sinαcosα. 方法总结：本题主要运用了面积法，通过用不同的方法表示同一个三角形的面积，来得到三角函数的关系，此种方法在后面的学习中会经常用到． 探究点二：利用三角函数解决实际问题 【类型一】 非特殊角三角函数的实际应用 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 解析：(1)过点C作CD⊥AB于D，根据AC＝10千米，∠CAB＝25°，求出CD、AD，根据∠CBA＝45°，求出BD、BC，最后根据AB＝AD＋BD列式计算即可；(2)根据(1)可知AC、BC的长度，即可得出公路改直后该段路程比原来缩短的路程． 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D，∵AC＝10千米，∠CAB＝25°，∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)，AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝