1.5 三角函数的应用（课件PPT）-【优翼·学练优】2022-2023学年九年级下册初三数学同步备课（北师大版）

1.5 三角函数的应用 第一章 直角三角形的 边角关系 优翼九下数学教学课件（BS） 情境引入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 导入新课 引例 如图，海中有一个小岛A，该岛四周 10 n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西 55° 的B 处，往东行驶 20 n mile后到达该岛的南偏西 25° 的 C处。之后，货轮继续向东航行.货轮继续航行会有触礁的危险吗？ B A C 60° D 【分析】这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔 C 到 AB航线的距离是否大于 10 n mile. 北 东 与方位角有关的实际问题 新课讲授 解：由点 A 作AD⊥BC 于点 D， 设AD= x , 则在 Rt△ABD 中， 在 Rt△ACD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. B A C D 25° 55° 北 东 由 BC = BD-CD,得 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东65° 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到0.01海里）？ 65° 34° P B C A 试一试 解：如图 ，在 Rt△APC 中， PC ＝ PA·cos（90°－65°） ＝80×cos25° ≈ 80×0.91 = 72.8 在Rt△BPC 中，∠B＝34° 当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东34°方向时， 它距离灯塔 P 大约 130.19 海里． 65° 34° P B C A 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 方法归纳 例1 如图，为了测量山的高度 AC，在水平面 B 处测得山顶 A 的仰角为 30°，AC⊥BC，自 B 沿着 BC 方向向前走 1000m，到达 D 处，又测得山顶 A 的仰角为 45°,求山高．(结果保留根号) 分析：可用方程思想，先把 AC 看成已知，用含 AC 的代数式表示 BC 和 DC，由 BD＝1000 m 建立关于 AC 的方程，从而求得 AC. 仰角和俯角问题 解：在 Rt△ABC 中， 在 Rt△ACD 中， ∴BD＝BC－DC 例2 如图，飞机 A 在目标 B 正上方 1000m 处，飞行员测得地面目标 C 的俯角为30°，则地面目标 B ，C 之间的距离是________． 解析：由题意可知，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m， 【方法总结】解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形． 分析：由题意知 α 是仰角 β 是俯角 所以α = 30°，β = 60°. 在 Rt△ABD中，α = 30°，AD ＝ 120，可以利用解直角三角形的知识求出 BD；类似地可以求出 CD ，进而求出 BC． 例 3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120m ，这栋高楼有多高（结果精确到 0.1m ）. A B C D α β 仰角 水平线 俯角 解：如图，α = 30°, β= 60°， AD＝120． 答：这栋楼高约为 277.1m. A B C D α β 建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1m ）. A B C D 40m 54° 45° A B C D 40m 54° 45° 解：在等腰三角形 BCD 中： ∠ACD = 90°， BC=DC=40m. 在 Rt△ACD 中， ∴AB = AC－BC = 55.2－40=15.1 答：旗杆的高度为15.1m. 练一练 ∴AC = tan∠ADC·DC = tan54°×40 ≈ 55.1 例4 一段路基的横断面是梯形，高为 4 米，上底的宽是 12 米，路基的坡面与地面的倾角分别是 45° 和 30°，求路基下底的宽 ( 精确到 0.1， ).   45° 30° 4米 12米 A B C D 利用坡角解决实际问题 在 Rt△BCF 中，同理可得 因此 AB ＝ AE＋EF＋BF=4＋12＋6.93 ≈ 22.93（米）． 解：作 DE⊥A