2022—2023学年沪教版（上海）数学八年级上册期末专题复习02 二次根式的运算（考点讲解）

专题02 二次根式的运算 【考点剖析】 1.二次根式的运算 【典例分析】 【考点1】二次根式的混合运算 1．计算： 2．计算：. 3．已知等腰的两边长分别为和7，则等腰的周长是______． 【考点2】分母有理化 1．的一个有理化因式是（    ） A． B． C． D． 2．的有理化因式可以是___________．（只需填一个） 3．若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是___________． 4．不用计算器，比较与的大小，并说明理由． 5．当时，代数式的值是______． 6．已知，求的值； 7．（★★）已知，则＝_________ 【考点3】不等式、方程运算 1．解不等式：的解集是______． 2． 3． 【考点4】二次根式的计算应用（★★） 1．根据爱因斯坦的相对论，当地面上的时间经过1秒时，宇宙飞船内时间只经过秒（c是光速，为千米/秒，v是宇宙飞船的速度）．假定有一对兄弟，哥哥18岁，弟弟15岁，哥哥乘着宇宙飞船作宇宙旅行，宇宙飞船的速度是光速的0.98倍．问：弟弟20岁时，刚从宇宙旅行回来的哥哥是几岁？ 2．【说读材料】我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现： 当，时： ∵， ∴． ∴，当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】根据上面材料回答下列问题： (1)已知，则当　　时，式子取到最小值，最小值为 　　； (2)已知，求当值为多少时，分式取到最小值，最小值是多少？ (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ 【课后练习】 1.下列各式计算错误的是（ ） A.； B.； C.； D.. 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3.计算： ． 4.计算：＝ . 5.计算：＝ . 6.计算：＝ . 7.计算：＝ . 8.写出的一个有理化因式 . 9.写出的一个有理化因式 . 10.比较大小： 11.不等式的解集是 . 12.若实数，则代数式的值为 . 13.对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下：，如：，那么＝ . 14、二次根式计算： (1). (2) (3) (4) 15、二次根式计算： (1) (2) (3) 16、二次根式计算：(1). (2) 17、解不等式： (1) (2) 18.已知，求的值. 19.先化简，再求值，已知，求代数式的值. 20．（★★）（1）化简：①=___________．②=___________． （2）计算：． （3）计算：． 21．（★★）小芳解决问题：已知，求的值．她是这样分析与解的：=， ∴， ∴，，则， ∴， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： (1)化简： (2)若．求代数式的值；求代数式的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次根式的运算 【考点剖析】 1.二次根式的运算 【典例分析】 【考点1】二次根式的混合运算 1．计算： 【考点】二次根式乘方 【专题】二次根式混合运算 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除、乘方进行运算 【解答】原式＝ ＝. 【点评】本题主要考查二次根式的加减乘除法则是解决本题的关键． 2．计算：. 【考点】二次根式乘方 【专题】二次根式混合运算 【分析】根据二次根式的加、减、乘、除、乘方进行运算 【解答】原式＝. 【点评】本题主要考查二次根式的加减乘除法则是解决本题的关键． 3．已知等腰的两边长分别为和，则等腰的周长是______． 【考点】等腰三角形 【专题】二次根式混合运算 【分析】分两种情况：当等腰的腰长为，底边长为时，当等腰的腰长为，底边长为时，然后分别进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰的腰长为，底边长为时， ， ∴不能组成三角形； 当等腰的腰长为，底边长为时， ∴等腰的周长； 综上所述：等腰的周长是， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况进行计算是解题的关键． 【考点2】分母有理化 1．的一个有理化因式是（  A   ） A． B． C． D． 【考点】分母有理化 【专题】有理化因式 【分析】根据有理化的定义以及二次根式的乘除法则解