第五讲 两角和与差的余弦、正弦和正切公式-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第五讲 两角和与差的余弦、正弦和正切公式 【教学目标】 1. 巩固平面上的两点间距离公式，并能运用两点间距离公式推导出两角和与差的余弦公式； 2. 初步理解解析法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力； 3. 培养探索和创新的能力和意识． 【教学难点】 熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，会初步运用解决具体问题. 知识梳理与典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：45 min】 一、两角和与差的余弦 设、为任意给定的两个角，把它们的定点置于平面直接坐标系的原点，始边与轴的正半轴重合，而它们的终边分别于单位圆交于、两点. 点、的坐标分别为、. 下面考虑角的余弦. 为此把角、的终边及都绕原点旋转角，它们分别交单位圆于点及. 由于都转动了角，因此也可以是一个以射线为始边、以射线为终边的角，而点的坐标是，点的坐标是. 根据两点间的距离公式，在左图中，有 在右图中，有 因为将射线、同时绕原点旋转角，就分别得到射线、，所以， 从而得到，即. 这个式子对任意给定的角和都成立，称为两角差的余弦公式. 在两角差的余弦公式中，用代换，就可得到两角和的余弦公式： . 这样，我们就得到两角和与差的余弦公式 ， . 简记作 . 【例1】利用两角和与差的余弦公式，求和的值.、 【例2】已知，，，. 求. 【例3】若、为锐角，，. 求角. 二、两角和与差的正弦 根据两角差的余弦公式和诱导公式，就可以得到两角和的正弦公式. 事实上， 将上式中的用代换，就可以得到两角差的正弦公式 . 这样，我们得到两角和与差的正弦公式 ， . 简记作 . 【例4】利用两角差的正弦公式，求的值. 【例5】证明：. 三、两角和与差的正切 根据两角和的正弦、余弦公式，就可以得到两角和的正切公式. 事实上， . 将上式中的用代换，就得到两角差的正切公式 . 这样，我们得到两角和与差的正切公式 ， . 简记作 . 【例6】已知，. 求：（1）；（2）. 【例7】利用两角和的正切公式，求的值. . 【例8】若不是直角三角形，求证：. 四、辅助角公式 . 注意到为单位圆上的一点，由正弦及余弦的定义，存在唯一的角，使得 ，， 于是有 . 此公式我们称之为辅助角公式. 【强调】①“实战”中要注意，，根据，快速求出； ②的范围为. 【例9】把下列各式化为（）的形式： （1）； （2）； （3）. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 求值：＝ . 2. 若，，、是同一象限的角，则____________. 3. 已知，，则 . 4. 已知，，，则 . 5. 对任意角，的最大值为5，则常数 . 6. 已知，是第四象限角，求的值. 7. 已知都是锐角，，，求的值. B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 已知，那么的值为 . 2. 化简： . 3. 若，则角为第 象限角. 4. 若，，则 . 5. 要使有意义，则的取值范围为 . 6. 设A是△ABC的最小内角，那么的取值范围为 . 7. 在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是 . 8. 如图有三个正方形相连，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，且，求的值. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】 1. 已知，则的取值范围为 . 2. 已知，，则 . 3. 若函数的最大值为2，则常数的一个取值为 . 4. 已知，则 . 5. 如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标. D组 综合训练 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 1. 计算：_________. 2. 若，则_________. 3. 已知，，则___________. 4. 已知，则 . 5. 在△ABC中，已知，则△ABC是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 6. 如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，联结EC，ED，则（ ） A. B. C. D. 7. 提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型如下：，下列判断中错误的是（ ） A. 当，时，满足，且为第一象限角； B. 当，时，满足，且为第四象限角；