4.3.2.2 等比数列的前n项和公式的应用 教案——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

贵州省凯里一中 人教A版高中数学 选择性必修第二册 教学设计 尹 洪 QQ 7434510 第四章 数列 4.3 等比数列 4.3.2.2 等比数列的前n项和公式的应用 一、教学目标 1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程； 2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题； 二、教学重点、难点 重点：探索并掌握等比数列的前项和公式 难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 【回顾】 等比数列的前项和 当时， 当时， 若数列是等比数列，且，则也成等比数列 （二）阅读精要，研讨新知 【例题研讨】阅读领悟课本例10、例11、例12（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.） 例10如图4.3-2, 正方形的边长为5cm，取正方形各边的中点,作第2个正方形,然后再取正方形各边的中点,作第3个正方形,依此方法一直继续下去. （1）求从正方形开始，连续10个正方形的面积之和； （2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和 将趋近于多少? 解：设正方形的面积为,后继各正方形的面积依次为，则 由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，所以， 因此，是以25为首项，为公比的等比数列. 设的前项和为. （1） 所以，前10个正方形的面积之和为. （2）当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和，而 随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50. 所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50. 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨， 其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理. 预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）. 解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成数列,每年以环保方式处理的垃圾量(单位:万吨)构成数列，年内通过填埋方式处理的垃圾总量为(单位:万吨)，则 当时，. 所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63. 5万吨. 例12某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为 （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）将（1）中的递推公式表示成的形式，其中为常数； （3）求的值(精确到1). 解：（1）由题意，得，并且 ① （2）将化成 ② 比较①②的系数，可得 所以，（1）中的递推公式可以化成 （3）由（2）可知数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，则 所以 【小组互动】完成课本练习1、2、3，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】 （三）探索与发现、思考与感悟 1. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ） A.1盏 B.3盏 C.5盏 D.9盏 解：设塔的顶层共有灯盏，则各层的灯数构成一个公比为的等比数列， ，故选B 2. 设等比数列{}的前项和为，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 解：方法一：由，所以 方法二：由，令，因为成等比数列， 所以，所以，故选B 3. 已知数列的前项和为,若. 求证:数列是等比数列. 证明：方法一：由已知得， 两式相减得，即 因为 又，所以 所以数列是以为公比，为首项的等比数列. 方法二：由已知得， 两式相减得，即 所以，即 又，所以 所以数列是以为公比，为首项的等比数列. 4. 已知数列是等比数列，前项和为，且 （1）求的通项公式； （2）若对任意的，是与的等差中项，求数列的前项和. 解：（1）设数列的公比为，由题意可知，或 又显然， 所以 （2）由已知 所以， 所以是首项为，公差为的等差数列，即 设数列的前项和为，则 方法一： 方法二：令 所以 5. 设正项等比数列的首项前项和为，且 （1）求 （2）求的前项和 解：（1）由得 所以 整理得 （2）是的等比数列，