4.3.2.1 等比数列的前n项和公式 教案——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

贵州省凯里一中 人教A版高中数学 选择性必修第二册 教学设计 尹 洪 QQ 7434510 第四章 数列 4.3 等比数列 4.3.2.1 等比数列的前n项和公式 一、教学目标 1、理解并掌握等比数列的前项和公式及其推到过程； 2、会用等比数列的前项和公式解决有关等比数列的简单问题； 3、培养学生进一步解方程的能力，以及整体代换思想的应用能力，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题. 二、教学重点、难点 重点：探索并掌握等比数列的前项和公式 难点：等比数列前项和公式推导思路的获得，灵活应用等比数列前项公式. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 【古代情景】国际象棋起源于古印度，相传国王要重赏国际象棋发明者--他的宰相，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第1格内赏他1粒麦子，第2格内赏他2粒麦子，第3格内赏他4粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的2倍，直到第64个格子，国王一听，觉得没有多少，就答应了. 【问题一】实际上国王能满足宰相的要求吗？ 【现代情景】四海商贸公司的叶总找到光华银行的罗总商谈贷款事宜，期限一个月. 罗总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万，共三十天. 叶总：如何还款？ 罗总：有一种还款方案，你可以试一试. 叶总：请讲. 罗总：…… 叶总：我知道了，就是我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍，三十天还完. 罗总：你回去考虑一下，没有问题就签订合同. 【问题二】叶总能签下这份合同吗？ （二）阅读精要，研讨新知 【思考】贷款金额与还款方式产生的金额对等吗？ 贷款金额：（万元）（已经有等差数列的公式） 还款金额： （分）（结果未知） 【发现】还款方式构成等比数列，求取等比数列的前项和是关键. 【求和方法一】设，则 两式相减得， 所以（分）（万元） 【求和方法二】因为 所以（分）（万元） 【贷款与还款差额】（万元） 很明显：叶总还能签合同吗？？？ 【问题】能否采用上述方法推导等比数列的前项和公式？ 【方法一】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足 （写法：模式） （通过乘以公比产生错位） 两式相减得 （错位相减法） 当时， 当时， 【方法二】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足 所以 （结论同上） 【方法三】（视学生情况介绍，需要利用等比定理） 由等比数列的定义，， 根据等比的性质，有， 即 （结论同上） 等比数列的前项和 当时， 当时， 【国王的赏赐笑话】64个棋盘格子的麦粒总数为 ， 如果1000颗麦 粒的质量约为40g，那么以上这些 麦粒的总质量超过了7 000亿吨，约是2016- 2017 年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言，赏赐就是一个笑话. 【例题研讨】阅读领悟课本例7、例8、例9（用时约为3-5分钟，教师作出准确的评析.） 例7已知数列是等比数列. （1）若，求； （2）若,,求； （3）若，求. 解：（1）由已知及公式，  （2）由已知，，因为，所以， 所以 （3）由已知，，所以. 例8已知等比数列 的首项为,前项和为.若.求公比. 解：若,则，所以 当时，由得， 所以 例9已知等比数列的公比,前项和为. 证明成等比数列，并求这个数列的公比. 证明：当时，， 所以成等比数列. 当时， 所以为常数， 所以成等比数列，公比为. 等比数列的前项和的性质 若数列是等比数列，且，则也成等比数列 【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】 （三）探索与发现、思考与感悟 1. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为，则（ ）。 A.29 B.31 C.33 D.36 解：由已知， 又，所以 所以，故选B 2. 等比数列的前项和为,,则________.  解：方法一：设等比数列的公比为,因为,所以,解得, 所以 方法二：由等比数列前项和性质，又， 所以构成首项为2，公比为2等比数列， 所以 答案:16 3. 设正项等比数列的前项和为,且,若,则等于(　　) A. 63或120 B.256 C.120 D.63 解：由已知，又