4.3.2.1 等比数列的前n项和公式 课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.2.1 等比数列的前n项和公式 第四章 数列 凯里一中 尹 洪 12 十二月 2022 （一） 创设情境 揭示课题 （二） 阅读精要 研讨新知 例题研讨 学习例题的正规表达 学习例题的常规方法 从例题中学会思考 如何看例题 10 小组互动 15 16 17 （三） 探索与发现 思考与感悟 （四） 归纳小结 回顾重点 （五） 作业布置 精炼双基 付出与回报 付出与回报 付出与回报 75% 55% 85% 销售 额 第一季度 第二季度 0.75 0.25 销售额 第一季度 第二季度 0.55 0.45 销售额 第一季度 第二季度 0.84 0.16 属于不断付出与攀登的人 数学的美妙风景 【古代情景】国际象棋起源于古印度，相传国王要重赏国际象棋发明者--他的宰相，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第1格内赏他1粒麦子，第2格内赏他2粒麦子，第3格内赏他4粒麦子……依此类推，每一格上的麦子数都是前一格的2倍，直到第64个格子，国王一听，觉得没有多少，就答应了. 【现代情景】四海商贸公司的叶总找到光华银行的罗总商谈贷款事宜，期限一个月. 罗总：在一个月中，我第一天给你一万，以后每天比前一天多给你一万，共三十天. 叶总：如何还款？ 罗总：有一种还款方案，你可以试一试. 叶总：请讲. 罗总：…… 叶总：我知道了，就是我第一天还你一分钱，以后每天还的钱是前一天的两倍，三十天还完. 罗总：你回去考虑一下，没有问题就签订合同. 【问题二】叶总能签下这份合同吗？ 【思考】贷款金额与还款方式产生的金额对等吗？ 贷款金额：（万元） （已经有等差数列的求和公式） 还款金额： （分）（结果未知） 很明显：叶总还能签合同吗？？？ 【发现】还款方式构成等比数列，求取等比数列的前项和是关键. 【求和方法一】设，则 两式相减得， 所以（分）（万元） 【求和方法二】因为 所以（分）（万元） 【贷款与还款差额】（万元） 当时， 当时， 【问题】能否采用上述方法推导等比数列的前项和公式？ 【方法一】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足 （写法：模式） （通过乘以公比产生错位） 两式相减得 （错位相减法） 【方法二】设等比数列的公比为，则等比数列的前项和满足 所以 （结论同上） 【方法三】（需要利用等比定理） 由等比数列的定义，， 根据等比的性质，有， 即 （结论同上） 等比数列的前项和 当时， 当时， 【国王的赏赐笑话】64个棋盘格子的麦粒总数为 ， 如果1000颗麦 粒的质量约为40g，那么以上这些 麦粒的总质量超过了7 000亿吨， 约是2016- 2017 年度世界小麦产量的981倍. 因此，国王根本不可能实现他的诺言， 赏赐就是一个笑话. 阅读领悟课本 例7、例8、例9 例7已知数列是等比数列. （1）若，求； （2）若,,求； （3）若，求. 解：（1）由已知及公式， （2）由已知，，因为，所以，所以 （3）由已知，，所以. 例8已知等比数列 的首项为,前项和为.若.求公比. 解：若,则，所以 当时，由得， 所以 例9已知等比数列的公比,前项和为. 证明成等比数列，并求这个数列的公比. 证明：当时，， 所以成等比数列. 当时， 所以为常数， 所以成等比数列，公比为. 等比数列的前项和的性质 若数列是等比数列，且，则也成等比数列 完成课本练习1、2、3、4、5 同桌交换检查，老师答疑. 1. 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为， 则（ ）。 A.29 B.31 C.33 D.36 解：由已知， 又，所以 所以，故选B 2. 等比数列的前项和为,,则________.  解：方法一：设等比数列的公比为,因为,所以,解得, 所以 方法二：由等比数列前项和性质，又， 所以构成首项为2，公比为2等比数列， 所以 答案：16 3. 设正项等比数列的前项和为,且,若,则等于(　　) A. 63或120 B.256 C.120 D.63 解：由已知，又，解得或 又，所以数列递减，所以， 又，所以，因此，故选C 4. 等比数列的公比不为1，若,且对任意的，都有成等差数列，则的前5项和______.  解：由已知，,令可得,即 解得或 (舍去), 则 答案：11 等比数列的前项和 当时， 当时， 若数列是等比数列，且，则也成等比数列 1.完成课本习题4.3 3、5、6、7、8、9 2.阅读课