第一讲 任意角及其度量-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第一讲 任意角及其度量 【教学目标】 1. 理解初中角度和高中角度定义的不同，进一步了解角度推广的意义； 2. 理解角度制与弧度制，熟练掌握弧度制； 3. 掌握扇形的弧长和面积公式. 【教学重点】1. 角度制与弧度制；2. 扇形弧长和面积公式. 【教学难点】弧度制的理解和应用. 知识梳理 【难度系数：★★ 参考时间：15 min】 一、任意角 1. 正角、负角、零角： 正角：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的； 负角：一条射线绕端点按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的. 零角：当一条射线没有旋转时，称为零角. 零角的始边与终边重合. 【小结】这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与零角，也包括超过的角. 2. 象限角和轴线角： （1）为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的正半轴重合，此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限. 如图，和都是第一象限角，和都是第二象限的角. （2）当角的终边在坐标轴上时，就说这些角不属于任一象限，这种角称为轴线角. 3. 终边相同的角： 我们把所有所有与角终边重合的角（包括角本身）的集合表示为 . 【小结】①终边在轴正半轴上的角的集合为； ②终边在轴负半轴上的角的集合为； ③终边在轴上的角的集合为； ④终边在轴上的角的集合为； ⑤终边在坐标轴上的角的集合为； ⑥第二象限角的集合为. 【注意】后缀表示射线，表示直线. 典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】 【例1】在“①160°，②480°，③-960°，④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ ） A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④ 【例2】若是第四象限角，则一定是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【例3】已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C关系是（ ） A. B. C. D. 【例4】“一个角在第二象限”是“这个角为钝角”的 条件（ ） A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要 【例5】下列命题中的真命题是（ ） A. 第一象限的角是锐角 B. 第二象限的角比第一象限的角大 C. 三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D. 二、角的度量 1. 角度制 在平面几何中，我们把周角的作为1度，用“度”作为单位来度量角的单位制叫做角度制. 2. 弧度制 （1）把弧长等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. 用“弧度”作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. 一般地说，如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么就是角的绝对值，即 ， 这里的符号由它的始边旋转至终边的方向决定【逆正顺负】. 【注意】对于角，以顶点为圆心，分别以为半径画弧和，它们的长分别为和，则，因此一个角的弧度数仅与角的大小有关，而与所取弧的半径无关. 【心得】这种定义法我们称之为比值定义法，跟初中物理中类似. （2）在弧度制下，每个角都是一个确定的实数，而每个实数也可以表示一个确定的角，因此在角的集合与实数集合之间建立起一种一一对应的关系. 【注意】在用弧度制表示角时，通常省略“弧度”两字，只写这个角所对应的弧度数. 例如，角和角的互补关系可以表示为，而则表示弧度的角的正弦. （3）角度与弧度的换算：弧度 弧度，弧度 （4）应熟记一些常用特殊角的角度和弧度的对应关系 角度 弧度 （5）象限角的表示： 第一象限的角的集合： 第二象限的角的集合： 第三象限的角的集合： 第四象限的角的集合： 【注意】角度和弧度不可混用，如“”和“”的写法都是不妥当的. （6）弧长公式和扇形面积公式 引入弧度制使得扇形的弧长和面积公式变得简洁漂亮. 当扇形的圆心角为，半径为时，扇形的弧长和面积的公式分别为及. 在使用弧度制后，圆心角相应的弧度为，因此上述公式可分别简化为 扇形的弧长， 扇形的面积. 【例6】把角化为弧度. 【例7】把角弧度化为角度. 【例8】在内与终边重合的角是___________. 【例9】设是第三象限的角，判断是哪个象限的角. 【例10】已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 .