第四讲 已知正弦、余弦或正切值求角-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第四讲 已知正弦、余弦或正切值求角 【教学目标】 1. 了解已知正弦、余弦或正切值求角的步骤； 2. 理解已知正弦、余弦或正切值求角的方法； 3. 掌握已知正弦、余弦或正切值求角的套路. 【教学难点】 熟练掌握已知正弦、余弦或正切值求角，会运用解决具体问题. 知识梳理与典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】 如果是锐角，且满足，那么. 如果不限定是锐角，那么由诱导公式可知，也满足. 再由诱导公式（）可知，或（）都满足. 那么，是否还有其他的角满足呢？下面我们就来研究这个问题. 为此目的，设是一个任意给定的角，我们希望确定所有满足的角. 设角的终边与以原点为圆心的单位远的交点为，过点作轴的垂线，如图（1）所示. 由正弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点必在此直线上. 当（）时，此直线交单位圆于两点和. 由于这两点分别位于角和角的终边上，因此满足的角的全体为或，，可简记为，. 当（）时，过点且垂直于轴的直线与单位圆相切于，此时满足角的全体为，，这个集合也可以用上面所示的形式来表示. 事实上，其表达式与上述集合第一部分中所给的表达式完全相同，而对于上述集合第二部分所给的表达式，由于在（）时， （）， 此时它也与上述集合第一部分中所给的表达式一致. 这样，我们就得到： 若，则或，，即，. 同理，如图（2），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由余弦的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过点且垂直于轴的直线上，从而满足的角的全体为，. 这样，我们就得到： 若，则，. 如图（3），若角的终边与以原点为圆心的单位圆的交点为，则由正切的定义，满足的角的终边与单位圆的交点在过原点和点的直线上，从而满足的角的全体为，. 这样，我们就得到： 若，则，. 【例1】根据下列条件，分别求角： （1）已知； （2）已知； （3）已知. 【例2】分别求满足下列条件的角的集合： （1），； （2）； （3）. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：15 min】 1. 若，，则 . 2. 方程，的解是 . 3. 若，且，则 . 4. 已知，，则 . 5. 在△ABC中，若，则（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30°. 6. 若，则“”是“，”的 （ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 方程的解集为____________. 2. 方程在内解的个数是____________. 3. 若方程的解集为M，方程的解集为N，则M与N的关系是M_______N. 4. 若角（）终边上一点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角终边上一点，且，能否求出、的值？若能，求出其值；若不能，请说明理由. 6. 求下列方程的解集： （1），； （2），. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】 1. 如果，那么角x的取值范围是 . 2. 已知函数，若，则的值为____________. 3. 若点为锐角终边上的一点，且，则满足的x的取值集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知集合，. （1）当时，求x的值； （2）当时，求x和y的值. 5. 已知关于x的方程. （1）当时，求方程的解； （2）要使此方程有解，试确定m的取值范围. D组 综合训练 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 1. 若是方程的解，其中，则 . 2. 在方程的所有解中，最小正解是____________. 3. 已知角的终边上一点的坐标为，则角的最小正值为 . 4. 设方程的解集为M，方程的解集为N，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对. 5. 田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例. 齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜. 该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵规律，在比大小游戏中（大者为胜），已知我方的三个数为，，，对方的三个数以及排序如表： 第一局 第二局 第三局 对方 当时，则我方必胜的排序是（ ） A. a，b，c B. b，c，a C. c，a，b D. c，b，a. 6. 根据下列条件，求角x： （1）已知，； （2）已知，x是第三象限角. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四讲 已知正弦、余弦或正切值