第三讲 诱导公式-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第三讲 诱导公式 【教学目标】 1. 掌握三角比的六组诱导公式； 2. 运用诱导公式进行求值、化简与证明. 【教学难点】 诱导公式的灵活应用 知识梳理 【难度系数：★★ 参考时间：25 min】 （），，，这些角都与角有特殊的关系. 已知角的正弦、余弦、正切及余切值，能够快速求出上述这些角的正弦、余弦、正切及余切值？这就是诱导公式要解决的问题. 由于角（）的终边与角的终边重合，因此由定义有如下诱导公式： ， ， ， （）. 由这组诱导公式，求任意角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于周对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标相等，而纵坐标互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求负角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化为求正角的相应值. 将角的终边绕着原点按逆时针方向旋转弧度，得到角的终边，这说明角和角的终边在同一条直线上，但方向相反. 角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于原点对称，其横坐标和纵坐标都互为相反数，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 角的终边与角的终边关于轴对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于轴对称，其横坐标互为相反数，而纵坐标互相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 由这组诱导公式，求范围内的角的正弦、余弦、正切及余切值可以转化到范围内一个角的相应值. 以上四组诱导公式说明，（），，的正弦、余弦、正切及余切值的绝对值等于角的相应量的绝对值【名称不变】，但这两个值之间可能差一个正负号. 由于诱导公式较多，记忆其中的正负号并不容易，但有一个简单的方法可以加以判断，即：当为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该与的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】 【例1】利用诱导公式求值： （1）； （2）； （3）. 【例2】化简：. 角的终边与角关于直线对称，角的终边与单位圆交于点，而角的终边与单位圆交于点. 由于点与点关于直线对称，则点的横坐标与点的纵坐标相等，而点的纵坐标与点的横坐标相等，因此有如下诱导公式： ， ， ， . 在以上公式中将用代换，就有. 同理，有如下诱导公式： ， ， ， . 上述两组诱导公式说明正弦和余弦可以相互转化，正切和余切也可以相互转化. 以上两组诱导公式说明角的正（余）弦、正（余）切值的绝对值，必等于角的余（正）弦、余（正）切值的绝对值【名称改变】，但这两者可能差一个正负号. 这个正负号的确定方法是：当角为锐角时，等式两边必须同正或同负. 例如，的绝对值应该同的绝对值相等，即成立. 但当为锐角时，是第二象限的角【符号看象限】，这时，而，所以前式中应该取负号，即有. 【例3】证明：（1）； （2）； （3）； （4）. 关于角（）的正弦、余弦、正切及余切值呈现的规律可以总结为如下口诀： 奇变偶不变，符号看象限. 例如，及都是的奇数倍，如果等式左边是，的正弦、余弦、正切、余切之一，那么等式右边相应的必定是的余弦、正弦、余切、正切，这就是“奇变”；而（）、、都是的偶数倍，等式两边的正弦、余弦、正切及余切的名称就应该相同，这就是“偶不变”. 等式右边角正弦、余弦、正切及余切前的符号可以将视为锐角（实际上此时可以为任意角），由等式左边的角所在的象限的正弦、余弦、正切及余切值的符号来确定，即“符号看象限”. 【例4】化简：. 【例5】如图，已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至. 求点的坐标. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 计算的值为 （ ） A．－ B． C． D．- 2. 下列各式中，不正确的是 （ ） A． B． C． D． 3. ＝ . 4. 设，则＝ . 5. 若，且是第四象限角，则 . 6．已知，则 . B组 巩固提高 【难度系