第八讲 余弦定理-2023年上海市高一下数学沪教版必修二寒假精品讲义

第八讲 余弦定理 【教学目标】 1. 了解余弦定理的推导过程； 2. 掌握余弦定理，并能够求解三角形的未知边、未知角等未知量； 3. 运用余弦定理判断三角形形状，并能够解决实际应用问题. 知识梳理 【难度系数：★★ 参考时间：15 min】 正弦定理刻画了三角形中边与角的正弦之间的关系. 那么，三角形中边与角的余弦之间存在什么关系呢？ 如图，，，由两点间的距离公式，得 两边平方，得 即 . 同理可得， ， . 这样，我们就得到了余弦定理：在中，设角、及所对边的边长分别为、及，则有 ， ， . 余弦定理也可以表示成如下形式： ， ， . 将余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理. 因此，勾股定理可视为余弦定理的特例. 正弦定理和余弦定理都定量刻画了三角形的边角关系，是求解三角形的基本工具. 我们已在例1中应用正弦定理处理了已知两角和一边求解三角形其他元素的问题，现在再来研究其他情况. 典型例题 【难度系数：★★★ 参考时间：30 min】 【例1】在中，已知，，. 求、及. 【例2】在中，已知，，. 求、及. 【例3】在中，已知，，. 求角的余弦值和的面积. 【例4】在中，已知，且. 求证：为等边三角形. 【例5】在中，已知，，且三角形面积. 求. 为了表示例5中的角，我们引入如下记号： ①用表示满足（）的角（ 【例】 ②用表示满足（）的角（）【例】 ③用表示满足（）的角（） 【例】 【例6】根据下列条件，分别求角： （1）已知； （2）已知，； （3）已知，. A组 双基过关 【难度系数：★★   参考时间：20 min】 1. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 若，，，则 . 2. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 若，，，则 . 3. 已知，，则x等于 . 4. 已知，，则x等于 . 5. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是 . 6. 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（ ） A. 不能作出这样的三角形； B. 能作出一个锐角三角形； C. 能作出一个直角三角形； D. 能作出一个钝角三角形. 7. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 若，A＝60°，求△ABC面积的最大值；并指出面积取最大时是什么三角形？ B组 巩固提高 【难度系数：★★★   参考时间：25 min】 1. 边长分别为5、6、7的三角形的最大角的余弦值为 . 2. 在△ABC中，若∠A＝120°，，，则△ABC的面积 . 3. 在△ABC中，，且最大边长为14，则该三角形的面积为 . 4. 已知，，则x等于 . 5. 若一个三角形的三边长分别为，，，则此二角形的最大内角为（ ） A. B. C. D. 6. 如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A. 和都是锐角三角形； B. 和都是钝角三角形； C. 是钝角三角形，是锐角三角形； D. 是锐角三角形，是钝角三角形. 7. 已知方程的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状. C组 拓展延伸 【难度系数：★★★★    参考时间：30 min】 1. 在△ABC中，角A、C所对边分别为a、b、c. 若，，，则边 . 2. 一个钝角三角形的三边为连续的正整数，则三边长为 . 3. 不等边三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且最大边a满足，则角A的取值范围是 . 4. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 分别求满足下列条件的角. （1），； （2），； （3），； （4），. 6. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 已知. （1）求证：； （2）求角B的取值范围. D组 综合训练 【难度系数：★★★   参考时间：30 min】 1. 在△ABC中，若，则∠B的大小是 . 2. 在△ABC中，已知，则∠A＝ . 3. △ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知，，，则的值 为 . 4. 在△ABC中，若，则△ABC的形状为 .