第11讲 圆-【帮课堂】2022-2023学年九年级数学下册同步精品讲义（北师大版）

第11讲 圆 ( 目标导航 ) 课程标准 1.理解圆的形成过程及其相关概念； 2.了解点与圆的位置关系，会运用点与圆心的距离到圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系。 ( 知识精讲 ) 知识点01 圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 注意：　　　　　　　　 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； ②圆是一条封闭曲线. 2. 圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 注意：　　　　　　　　 ①定点为圆心，定长为半径； ②圆指的是圆周，而不是圆面； ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 知识点02 圆的相关概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 注意： 直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 注意： ①半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3. 等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. ①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4. 同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 同圆或等圆的半径相等. 5. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 知识点03 点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ； 点P在圆上 d = r ； 点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 注意： 点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； ( 能力拓展 ) 考法01 圆的有关计算 【典例1】如图，在⊙O中，点B,O,C和点A,O,D分别在同一条直线上，则图中有（       ）条弦. A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】根据弦的概念，AB、BC、EC为圆的弦，共有3条弦. 故选B. 【即学即练】如图，图中⊙O的弦共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【详解】解：图中有弦共3条， 故选C． 【典例2】已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（    ） A．2 B．5 C．9 D．11 【答案】D 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10． ∴的长度不可能是11； 故选：D． 【即学即练】、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵圆中最长的弦为直径， ∴． ∴故选D． 考法02 点与圆的位置关系 【典例3】已知的半径为3， ，则点A和的位置关系是（　　） A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定 【答案】C 【详解】解：∵的半径为3，， ∴点到圆心的距离小于半径， ∴点A在圆内， 故选：C． 【即学即练】若半径为5，圆心的坐标是，点的坐标是，那么点与的位置关系为(   ) A．点在内 B．点在上 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵点A的坐标是，点P的坐标是， ∴， ∴点P在内， 故选：A． 【典例4】的半径为r，点P到圆心O的距离为2，若点P在外，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵点P到圆心O的距离为2，点P在外， ∴， 故选A． 【即学即练】已知，点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1，则⊙O的半径为（　　） A．2 B．2．5 C．3 D．2或3 【答案】D 【详解】解：∵点A为⊙O所在平面上一点，且点A到⊙O上所有点的距离中，最长为5，最短为1， ∴当点A在圆外时，⊙O的半径=， 当点A在圆