4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第 4 章 数列 人教A版2019选修第一册 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第2课时） 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 学习目标 掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 宋老师数学精品工作室 例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例10 如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E, F, G, H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I, J, K, L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去. (1) 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和; (2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少? 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例11 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式 处理，6万吨垃圾以环保方式处理，预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨. 为了确定处理生活垃圾的预算，请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量 (精确到0.1万吨). 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8%，且在每年年底卖出100头牛，设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c1，c2，c3，‧‧‧ . (1)写出一个递推公式，表示cn+1与cn之间的关系; (2) 将(1)中的递推公式表示成cn+1－k = r(cn－k)的形式，其中k，r为常数; (3) 求S10= c1＋c2＋c3＋‧‧‧＋c10的值(精确到1). 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 提升练习 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 题型一：分组转化法求和 1.已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； 解(1)：设数列的公差为，则由 得解得 ∴的通项公式为. 宋老师数学精品工作室 1.已知等差数列满足，. (2)若()，求数列的前项和. 解(2)：由得. 当且时， 当时，则 ∴数列的前项和则 宋老师数学精品工作室 方法技巧： 分组转化法求和的常见类型 求 的和 为等差或等比数列 为等差或等比数列 分组 求和 宋老师数学精品工作室 题型二：裂项相消法求和 2.已知等比数列各项均为正数，且，. (1)求的通项公式； 解(1)：设数列的公比为，由得，∴ 由条件可知，故. 由得∴. 故数列的通项公式为. 宋老师数学精品工作室 2.已知等比数列各项均为正数，且，. (2)若，求数列的前项和. 解(2)：∵设∴ ∴ ∴ 宋老师数学精品工作室 方法技巧： 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前项和.使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未倍消去的项有前后对称的特点. 宋老师数学精品工作室 常见的裂项方式： 数列(为正整数) 裂项方式 (为非零常数) (，且) 宋老师数学精品工作室 题型三：错位相减法求和 3.已知数列的前项和，是等差数列，且 (1)求数列的通项公式； 解(1)：∵，当时， 当时， 当时，也符合上式，∴ 设数列的公差为.则即解得 ∴ 宋老师数学精品工作