4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时）（教学课件）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

第 4 章 数列 人教A版2019选修第一册 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 学习目标 1. 掌握等比数列的前n项和公式及其应用．(重点、难点) 2．会用错位相减法求数列的和．(重点、难点) 3．能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 宋老师数学精品工作室 国际象棋起源于古代印度. 相传国王要奖赏国际象棋 的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个 格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个 格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都 是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给 我足够的麦粒以实现上述要求.” 国王觉得这个要求不高， 就欣然同意了. 已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 问题 把上述问题中每个格子里放的麦粒数看成一个数列，请分析这个数列是否是等比数列? 若是，请求出通项公式，并思考国王能满足象棋发明者的要求吗？ 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 思考 如何求一个等比数列的前n项和？ 这种求和方法叫错位想减法 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 等比数列的前n项和公式： 按1000颗麦粒的质量为40g，那么象棋发明者想要的麦粒总质量超过7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍，因此，国王根本不可能实现他的诺言. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 5 等比数列{an}的相关公式及性质： 1.等比数列{an}的通项公式： 2.等比数列{an}的前n项和公式： 3.等比数列{an}的重要性质： 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例7 已知数列{an}是等比数列. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 7 例7 已知数列{an}是等比数列. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例7 已知数列{an}是等比数列. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例8 已知等比数列{an}的首项为－1，前n项和为Sn，若 求公比q. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 例9 已知等比数列{an}的公比q ≠ －1，前n项和为Sn，证明 Sn , S2n－Sn , S3n－S2n , 成等比数列，并这个数列的公比. 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 提升练习 宋老师数学精品工作室 宋老师数学精品工作室 题型一：等比数列前项和的基本运算 1.在等比数列中，公比为，前项和为. (1)若，求； 解(1)：显然， 由，即， ∴.又 即∴. 宋老师数学精品工作室 1.(2)若，，求及. 解(2)：[法一]由得，由题意得： 用得， ∴ 代入得，∴ ∴ 宋老师数学精品工作室 方法技巧： 在等比数列的五个量，，，和，和是最基本的元素，当条件与结论间的联系不明显时，均可以用和表示与，从而列方程组求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 宋老师数学精品工作室 题型二：等比数列前项和的性质 2.已知在等比数列中，，则________. 解：设等比数列的公比为，由于，则 . [法一]由等比数列的前项和公式，得 得故. 宋老师数学精品工作室 2.已知在等比数列中，，则________. 解：设等比数列的公比为，由于，则 解得 [法二]易知，，仍成等比数列， 则即， [法三]易知即， ∴∴. 宋老师数学精品工作室 方法技巧： 解决有关等比数列前项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前项和的相关性质，则可以避繁就简.不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比的讨论. 宋老师数学精品工作室 题型三：等比数列前项和的实际应用 3.一个热气球在第上升了的高度，在以后的每里，它上升的高度都是它在前上升高度的.这个热气球上升的高度能达到吗？ 解：用表示热气球在第上升的高度.由题意，得：. 热气球在里上升的总高度为： 因此，数列是首项，公比的等比数列. ∴这个热气球上升的高