专题07 函数的零点问题及应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第一册）

专题07 函数的零点问题及应用 知识点1 函数的零点与方程的根 1、零点定义：如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点. 2、注意事项： （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 3、方程、函数、图象之间的关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点2 零点存在定理及其推论 1、定理：如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且， 那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 3、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 知识点3 零点个数的判断方法 1、直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点. 2、定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且， 结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点. 3、图象法： （1）单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数； （2）两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数 4、性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到； 若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数 知识点4 已知零点个数求参数范围的方法 1、直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； 2、数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； 3、分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解． 知识点5 二分法的定义及应用 1、二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法。 注意点： （1）二分法的求解原理是函数零点存在定理； （2）函数图象在零点附近连续不断； （3）用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解。 2、用二分法求函数零点 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 （1）确定零点的初始区间，验证； （2）求区间的中点； （3）计算，进一步确定零点所在的区间： ①若（此时），则就是函数的零点； ②若（此时），则令； ③若（此时），则令. （4）判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复（2）~（4） 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点；精确度表示当区间的长度小于时停止二分. 考点1 求函数的零点 【例1】（2021·甘肃·临夏中学高一期末）函数的零点是（ ） A．1，﹣3 B．3，﹣1 C．1，2 D．， 【变式1-1】（2022·福建福州·高一期中）（多选）已知函数，则函数的零点是（ ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【变式1-2】（2022·北京二十中高一阶段练习）函数的零点为___________． 【变式1-3】（2022·河北·邢台一中高一阶段练习）已知在定义域上为单调函数，对，恒有，则函数的零点是（ ） A．2 B．1 C． D． 考点2 函数零点个数的判断 【例2】（2022·辽宁·沈阳市第十一中学高一期中）函数的零点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-1】（2022·北京·清华附中朝阳学校高一期中）已知函数，则的零点个数为（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-2】（2022·河北·正定中学高一阶段练习）已知，均是定义在的函数，其中函数是奇函数且在上的图象如图1，函数在定义域上的图象如图2，则方程的根