4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.2.1 等差数列的概念 在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用. 下面， 我们从一类取值规律比较简单的数列人手. 请看下面几个问题中的数列： 1.北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成, 最中间是圆形的天心石, 围绕天心石的是9圈扇环形的石板, 从内到外各圈的石板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 创设情境 3 2. XXS , XS, S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 ② 3.测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为 25, 24, 23, 22, 21 ③ 21℃ 22℃ 24℃ 25℃ 23℃ 420m 320m 220m 120m 20m 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b( =a/12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为 ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, ... ④ 说明：如果按月还款，等额本金还款方式的计算公式为 每月归还本金=贷款总额÷贷款期总月数 利息部分=（贷款总额-已归还本金累计额）×月利率。 9,18,27,36,45,54,63,72,81. 1984,1988,1992,1996,2000,2004,2008,2012,2016,2020. 38,40,42,44,46,48 25,24,23,22,21. 从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数. 探究新知 思考：我们常通过运算来发现规律。你能通过运算发现数列①~④的取值规律吗？ 取值规律： 1. 等差数列的概念　 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 例如数列①②③④的公差依次为 9, 2, -0.6, -br. 等差数列的符号语言： an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*) 注意： 1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数. 2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0. 2. 等差中项　 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b . 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 2. 求下列各组数的等差中项: 课本P15 探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得 an+1－an = d 等差数列的递推公式 所以 a2－a1 = d， a3－a2 = d， a4－a3 = d，‧ ‧ ‧ 于是 a2= a1＋d， a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ， a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ an= a1＋(n－1)d，(n≥2) 当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立. 这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式. (2)等差数列与一次函数的关系： ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. ②任给一次函数f(x)＝kx＋b(k, b为常数), 则 f(1)＝k＋b，f(2)＝2k＋b, …, f(n)＝nk＋b, 构成一个等差数列{nk＋b}, 其首项为________，公差为____. (k＋b) k (1) 等差数列通项公式的一般形式： 3. 通项公式　 首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d. an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . ③等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时，等差数列{an}为递增数列； 当d＝0时，等差数列{an}为常数列； 当d<0时，等差数列{an}为递减数列． 首项为a1，公差为 d