第一部分 考点九 导数及其应用(二)-【金版教程】2023高考文科数学大二轮刷题首选卷课件PPT（老教材，全国统考版）

考点九　导数及其应用(二) 第一部分　刷考点 1 A卷 PART ONE A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 2 B卷 PART TWO A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 A卷 B卷 本课结束 解答题 1．(2022·云南昆明“三诊一模”摸底诊断检测)设函数f(x)＝x2－ax ln x，a∈R. (1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若存在x0∈[1，e]，使得f(x0)<－e(a＋e)成立，求a的取值范围． 解　(1)令a＝1，得f(x)＝x2－x ln x，x>0， ∴f′(x)＝2x－ln x－1， ∴f(1)＝1，f′(1)＝1， ∴曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x. (2)∵f(x)<－e(a＋e)， ∴x2－ax ln x<－e(a＋e)， 化简得x－a ln x＋ eq \f(e2＋ae,x)<0， 设g(x)＝x－a ln x＋ eq \f(e2＋ae,x)， 则g′(x)＝1－ eq \f(a,x)－ eq \f(e2＋ae,x2)＝ eq \f(x2－ax－（e2＋ae）,x2)＝ eq \f(（x－e－a）（x＋e）,x2)， ∵x∈[1，e]，∴x＋e>0， 令g′(x)＝0，得x＝e＋a. 若e＋a≤1，即a≤1－e时，g′(x)≥0，g(x)在[1，e]上单调递增， 只需g(1)＝1＋e2＋ae<0即可， 解得a< eq \f(－1－e2,e)＝－e－ eq \f(1,e)； 若e＋a≥e，即a≥0时，g′(x)≤0，g(x)在[1，e]上单调递减， 只需g(e)＝e－a＋e＋a＝2e<0，此时不成立； 若1<e＋a<e，即1－e<a<0时， 当x∈[1，e＋a)时，g′(x)<0，此时g(x)单调递减， 当x∈(e＋a，e]时，g′(x)>0，此时g(x)单调递增， ∴g(x)在x∈[1，e]上的最小值为g(e＋a)＝2e＋a－a ln (e＋a)， 只需2e＋a－a ln (e＋a)<0， 即 eq \f(a＋2e,a)>ln (e＋a). ∵1－e<a<0， ∴ eq \f(a＋2e,a)<0，0<ln (e＋a)<1，则 eq \f(a＋2e,a)>ln (e＋a)不成立． 综上所述，a的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－e－\f(1,e))). 2．(2022·广西南宁第一次适应性考试)已知函数f(x)＝ eq \f(ax2＋x－1,ex)(a≥0)(e为自然对数的底数)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a>0时，证明：f(x)的最小值小于－1. 解　(1)因为f(x)＝ eq \f(ax2＋x－1,ex)(a≥0)， 则f′(x)＝ eq \f(（2ax＋1）－（ax2＋x－1）,ex)＝ eq \f(－ax2＋（2a－1）x＋2,ex)＝ eq \f(（ax＋1）（－x＋2）,ex)， ①若a＝0，则f′(x)＝ eq \f(－x＋2,ex)，令f′(x)＝0，则x＝2， 所以当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，故f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)； ②若a>0，令f′(x)＝0，则x＝2或x＝－ eq \f(1,a)，当x>2或x<－ eq \f(1,a)时，f′(x)<0；当－ eq \f(1,a)<x<2时，f′(x)>0，故f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，2))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,a)))和(2，＋∞). 综上，当a＝0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，2)，单调递减区间为(2，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，2))，单调递减区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,a)))和(2，＋∞). (2)证明：由(1)知，当a>0时，f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(