第二部分 压轴题(三)-【金版教程】2023高考文科数学大二轮刷题首选卷课件PPT（老教材，全国统考版）

三、压轴题 压轴题(三) 第二部分　刷题型 本课结束 12．(2022·东北三省三校高三第一次联考)已知a>b>0，F1，F2是双曲线C1： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1的两个焦点，若点P为椭圆C2： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，∠F1PF2取得最小值，则椭圆C2的离心率的取值范围为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),3))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，1)) 答案　A 解析　假设点P在x轴上方，设P(a cos θ，b sin θ)，则θ∈(0，π)，由已知得F1(－ eq \r(a2＋b2)，0)，F2( eq \r(a2＋b2)，0)，设直线PF1的倾斜角为α，直线PF2的倾斜角为β，∴tan α＝k PF1＝ eq \f(b sin θ,a cos θ＋\r(a2＋b2))，tan β＝kPF2＝ eq \f(b sin θ,a cos θ－\r(a2＋b2))，∴tan ∠F1PF2＝tan (β－α)＝ eq \f(tan β－tan α,1＋tan αtan β)＝－ eq \f(2b\r(a2＋b2)sin θ,b2＋（a2－b2）sin2θ)＝－ eq \f(2b\r(a2＋b2),\f(b2,sinθ)＋（a2－b2）sin θ)＝ － eq \f(2b\r(a2＋b2),（a2－b2）\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin θ＋\f(\f(b2,a2－b2),sin θ)))).由于P为椭圆的短轴端点时，θ＝ eq \f(π,2)，∠F1PF2取得最小值，即tan ∠F1PF2取得最小值，y＝sin θ＋ eq \f(\f(b2,a2－b2),sin θ)(0<sin θ≤1)也取得最小值，此时sin θ＝1，令t＝sin θ(0<t≤1)，则f(t)＝t＋ eq \f(\f(b2,a2－b2),t)在t＝1时取 得最小值，∵函数y＝f(t)在 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0， \r(\f(b2,a2－b2))))上单调递减，∴1≤ eq \r(\f(b2,a2－b2))，即a2≤2b2，∴e＝ eq \r(1－\f(b2,a2))≤ eq \r(1－\f(1,2))＝ eq \f(\r(2),2).即椭圆C2的离心率的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))).故选A. 16．(2022·全国乙卷(理))已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点，若x1＜x2，则a的取值范围是________． 答案　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，1)) 解析　f′(x)＝2(ax ln a－ex)至少要有两个零点x＝x1和x＝x2，令g(x)＝2(ax ln a－ex)，则g′(x)＝2ax(ln a)2－2e. ①若a＞1，则g′(x)在R上单调递增，此时若g′(x0)＝0，则f′(x)在(－∞，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，此时若有x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点，则x1＞x2，不符合题意． ②若0＜a＜1，则g′(x)在R上单调递减，此时若g′(x0)＝0，则f′(x)在(－∞，x0)上单调递增，在(x0，＋∞)上单调递减，且x0＝loga eq \f(e,（ln a）2).此时若 有x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a＞0且a≠1)的极小值点和极大值点，且x1＜x2，则需满足f′(x0)＞0，即 eq \f(e,ln a)＞eloga eq \f(e,（ln a）2)⇒a \f(1,ln a) eq \s\up15() < eq \f(e,（ln a）2)⇒ln a \f(1,ln a) eq \s\up15() <ln eq \f(e,（ln a）2)⇒ eq \f(1,ln a)ln a<1－ln (ln a)2，解得 eq \f(1,e)<a<1或1<a<e，由于0＜a＜1，取交集即得 eq \f(1,e)＜a＜1. 20．(2022·安徽滁州第二次教学质量监测)平