精品解析：广东省“深惠湛东”四校2022-2023学年高二上学期联考数学试题

2024届高二年级“深惠湛东”四校联考试题 数学 命题人：邬紫荆 审题人：喻秋生 本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，若，则实数等于（ ） A. B. C. D. 6 2. 如图，在平行六面体中，是与的交点，若，，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的斜率是方程的两个根，则（ ） A. B. C. 与相交但不垂直 D. 与的位置关系不确定 4. 已知双曲线两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 已知为抛物线的焦点，点在抛物线上，为的重心，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，，是椭圆的左、右焦点，焦距为，是椭圆上一点，是的外角平分线，过作的垂线，垂足为，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”，他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展，被广泛应用于工程制图当中．过椭圆外的一点作椭圆的两条切线，若两条切线互相垂直，则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆，这个圆叫做椭圆的蒙日圆．若椭圆的蒙日圆为，过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线，分别与圆E交于P，Q两点，直线PQ与椭圆C交于A，B两点，则下列结论不正确的是（ ） A. 椭圆C的离心率为 B. M到C的右焦点的距离的最大值为 C. 若动点N在C上，记直线AN，BN的斜率分别为，，则 D. 面积的最大值为 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9. 已知空间向量，，构成的平面记为，则下列说法正确的是（ ） A. 向量与垂直 B. 向量与平行 C. 若与分别是与的方向向量，则直线，所成的角的余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 10. 下列说法中，正确的有（ ）． A. 直线在y轴上的截距为 B. 过点且在x，y轴截距相等的直线方程为 C. 若点在圆外，则 D. 已知点是直线上一动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 11. 已知等轴双曲线的左、右焦点分别为，，过双曲线C上的一点M作两条渐近线的垂线，垂足分别为P，Q，则（ ） A. 双曲线C的离心率为2 B. 直线MP与直线MQ的斜率之积为定值 C. 四边形OPMQ面积的最大值为（O为坐标原点） D. 12. 已知直四棱柱的底面为正方形，，P为直四棱柱内一点，且，其中，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在点P，使得 C. 当时，的最小值为 D. 当时，存在唯一的点P，使得平面平面PBC 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 在空间直角坐标系Oxyz中，，，，若四边形为平行四边形，则________. 14. 设抛物线的焦点为，为抛物线上一点，则________． 15. 已知直线与直线相交于点M，点N是圆上的动点，则的取值范围为________． 16. 椭圆的一个焦点是，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．若恒有，则椭圆离心率的取值范围为________． 四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知圆心坐标为的圆与轴相切． （1）求圆方程； （2）设直线与圆交于，两点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求的值． 条件①：；条件②：． 18. 如图，在直三棱柱中，，，．为侧棱中点，连接． （1）求与平面所成角； （2）求二面角余弦值． 19. 已知直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积为． （1）求双曲线C的离心率； （2）设与直线平行直线与双曲线交于，两点，若的面积为（O为坐标原点），求直线的方程． 20. 如图，在平面四边形ABCD中，，，．以BD为折痕把和向上折起，使点A到达点E的位置，点C到达点F的位置（E，F不重合）． （1）求证：； （2）若平面平面FBD，点G为的重心，平面ABD，且直线EF与平面FBD所成角为． ①AB的长度； ②求二面角的余弦值． 21. 已知椭圆的长轴长为4，离心率为，点为椭圆上的一点 ． （1）求椭圆的方程； （2）若过原点的直线与椭圆交于点，且直线的斜率与直线的斜率满足，求面积的最大