3.9 弧长及扇形的面积（教案）-【木牍教育·课时A计划】2023春九年级下册数学 （北师大版）安徽

3.9　弧长及扇形的面积 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.理解并能说出弧长的计算公式及扇形的面积的计算公式; 2.能够应用弧长公式和扇形的面积计算公式进行有关的计算. 【过程与方法】 经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力. 【情感、态度与价值观】 通过用弧长及扇形面积的计算公式解决实际问题,体验数学解决实际问题的有效性,激发学习数学的兴趣,提高学生学习的积极性和对数学的运用能力. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 弧长计算公式及扇形面积计算公式的理解与应用. 【教学难点】 弧长计算公式及扇形面积计算公式的熟练应用. ◇教学过程◇ 一、情境导入 在田径200米跑比赛中,为什么每位运动员的起跑位置不相同?这样的起点位置对每位运动员公平吗? 二、合作探究 探究点1　弧长的计算 典例1　如图,△ABC是正三角形,曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”,其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次按A,B,C,…循环,它们依次相连接.若AB=1,求曲线CDEF的长. [解析]　∵△ABC是正三角形,∴∠CAD=∠DBE=∠ECF=120°, 又∵AB=1,∴AC=1,BD=2,CE=3, ∴CD弧的长度为, DE弧的长度为, EF弧的长度为=2π, ∴曲线CDEF的长为+2π=4π. 【技巧点拨】弧长的计算公式:l=.当已知弧对的圆心角度数n和半径r时,即可代入计算其弧长l;反之,当已知弧长l和n,r中的一个量时,也可利用方程思想求出另一个量. 变式训练　已知扇形的弧长为2π,圆心角为60°,则它的半径为　　　　.  [答案]　6 探究点2　扇形面积的计算 典例2　如图,这是中央电视台“曲苑杂坛”中的一幅图案,它是一扇形图案,其中∠AOB为120°,OC长为8 cm,CA长为12 cm,则图案部分ABDC的面积是多少?(结果保留π) [解析]　∵OA=OC+CA=20 cm, ∴S图案部分ABDC==112π cm2. 故图案部分ABDC的面积是112π cm2. 【技巧点拨】扇形面积的计算公式是S扇形=,当已知扇形的圆心角的度数n和半径r时,即可代入计算扇形面积S;反之,当已知扇形面积S和n,r中的一个量时,也可利用方程思想求出另一个量. 变式训练　如图所示,有一个直径是1 m的圆形铁皮,要从中剪出一个半径为 m且圆心角是120°的扇形ABC.求被剪掉后剩余阴影部分的面积. [解析]　S阴影=π×(m2). 探究点3　弓形及不规则图形的面积的计算 典例3　如图,O为半圆的圆心,直径AB=12,C是半圆上一点,OD⊥AC于点D,OD=3. (1)求AC的长; (2)求图中阴影部分的面积. [解析]　(1)∵OD⊥AC,∴AD=DC. ∵AO=OB,∴BC=2OD=6. ∵AB是直径,∴∠ACB=90°, ∴AC==6. (2)连接OC.由(1)知AB=12,BC=6,∠ACB=90°, ∴∠CAB=30°,∠ABC=60°. ∵OC=OB, ∴△BOC为等边三角形, ∴∠BOC=60°,∴∠AOC=120°, ∴S阴=S扇形OAC-S△AOC=×6×3=12π-9. 　　一般地,弓形面积等于扇形面积减去三角形的面积.其他的很多不规则图形的面积,也都是遵循这样的求面积的方法,即:一种是分割法,就是把所求的不规则图形分割成几个规则图形,分别求面积再求和;另一种是拓展法,就是把所求的不规则图形拓展成规则图形,且拓展部分也是规则图形,则所求的图形的面积=拓展后的规则图形的面积-拓展部分的面积. 变式训练　如图,直角△ABC中,∠A=90°,∠B=30°,AC=4,以A为圆心,AC长为半径画四分之一圆,则图中阴影部分的面积是　　　　.(结果保留π)  [答案]　4π 三、板书设计 弧长及扇形的面积 ◇教学反思◇ 　　本节课的授课思路:由圆周长公式,推出弧长公式,由圆面积公式类比推导出扇形面积公式.使学生在经历数学知识发生、发展、形成的“再创造”活动中,获取广泛的数学活动经验,进而促进自身的主动发展. 教学过程中重点是引导学生分析、使用相关的公式,尤其是公式的变形.在学生对公式的理解、探究、交流比较充分的基础上,教师再通过对问题的探究过程引导学生正确的使用公式计算或列方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $