1.6 利用三角函数测高（教案）-【木牍教育·课时A计划】2023春九年级下册数学 （北师大版）安徽

1.6　利用三角函数测高 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.进一步理解直角三角形中的边角关系; 2.能自制测倾器、设计活动方案,用锐角三角函数解决测量物体高度的问题. 【过程与方法】 1.经历自制测倾器、设计活动方案,用锐角三角函数解决测量物体高度的问题,运用测倾器进行实地测量以及撰写活动报告的过程; 2.能对测量的结果进行分析校正,能综合运用锐角三角函数的知识解决问题,培养学生的应用意识和动手能力. 【情感、态度与价值观】 通过“测量物体的高度”这一活动过程,理论与实际相结合,培养学生集体合作的能力. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 自制测倾器、设计活动方案,解决测量物体的高度的问题. 【教学难点】 理论与实际相结合,解决测量物体的高度问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 　　如图,AC表示一幢楼,它的各楼层都可到达;BD表示一个建筑物,且不能到达.已知AC与BD地平高度相同,AC周围没有开阔地带,仅有的测量工具为皮尺(可测量长度)和测角器(可测量仰角、俯角和两视线间的夹角). (1)请你设计一个测量建筑物BD高度的方案,要求写出测量步骤和必要的测量数据(用字母表示),并画出测量示意图; (2)写出计算BD高度的表达式. 二、合作探究 探究点1　塔的高度 典例1　如图,山上有一座铁塔,山脚下有一矩形建筑物ABCD,且建筑物周围没有开阔平整地带.该建筑物顶端宽度AD和高度DC都可以直接测得,从A,D,C三点可看到塔顶端H.可供使用的测量工具有皮尺,测倾器(即测角仪). (1)请你根据现有条件,充分利用矩形建筑物.设计一个测量塔顶端到地面高度HG的方案.具体要求如下: ①测量数据尽可能少; ②在所给图形上,画出你设计的测量的平面图,并将应测数据标记在图形上(如果测A,D间距离,用m表示;如果测D,C间距离,用n表示;如果测角,用α,β,γ等表示.测倾器高度不计); (2)根据你测量的数据,计算塔顶到地面的高度HG.(用字母表示) [解析]　方案一:(1)如图1,测四个数据:AD=m,CD=n,∠HDM=α,∠HAM=β. 图1　　　　　　　　　　图2 (2)设HG=x,HM=x-n,在Rt△HDM中,tan α=,DM=, 在Rt△HAM中,tan β=,AM=, ∵AM-DM=AD,∴=m, ∴x=+n. 方案二:(1)如图2,测三个数据:CD=n,∠HDM=α,∠HCG=γ. (2)设HG=x,HM=x-n,在Rt△CHG中,tan γ=,CG=, 在Rt△HDM中,tan α=,DM=, ∵CG=DM,∴,x=. 　　测量物体的高度,一般可分为底部可以到达和底部不可到达两种,要根据具体的条件灵活选择要测量的量,对于复杂问题,一般通过作高线,构造出直角三角形,从而可以利用解直角三角形解决问题. 变式训练　如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为30 cm,灯罩BC长为20 cm,底座厚度为2 cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°.使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少?(结果精确到0.1 cm,参考数据:≈1.732) [解析]　过点B作BF⊥CD于点F,作BG⊥AD于点G,如图. 易知四边形BFDG为矩形,∴BG=FD. 在Rt△BCF中,∠CBF=30°, ∴CF=BC·sin 30°=20×=10. 在Rt△ABG中,∠BAG=60°, ∴BG=AB·sin 60°=30×=15. ∴CE=CF+FD+DE=CF+BG+DE=10+15+2≈38.0. 答:此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0 cm. 探究点2　河的宽度 典例2　如图,为测量小河的宽度,先在河岸边任取一点A,再在河的另一岸边取两点B,C,测得∠ABC=60°,∠ACB=30°,量得BC的长为20 m,AB的长为BC长的一半,求小河的宽度.(结果保留根号) [解析]　过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADC=90°, 在△ABC中,∠ABC=60°,∠ACB=30°, ∴∠BAC=90°,AB=BC=10, ∴AC==10,∴AD=AC=5. 答:小河的宽度为5 m. 变式训练　如图,为了测量某条河的宽度,先在河边的一岸边任意取一点A,又在河的另一岸边取两点B,C,测得∠α=30°,∠β=45°,量得BC长为100米.求河的宽度.(结果保留根号) [解析]　过点A作AD⊥BC于点D,∵∠β=45°,∠ADC=90°,∴AD=DC, 设AD=DC=x,则tan 30°=, 解得x=50(+1). 答:河的宽度为50(+1)米. 三、板书设计 利用三角函数测高 →→ ◇教学反思◇ 　　这节课在前面已研讨过设计方案的基础上,分组进行了实地测量,使我们所学的数学知识应用到了实践中.整节课,每个小组的成员都