1.5 三角函数的应用（教案）-【木牍教育·课时A计划】2023春九年级下册数学 （北师大版）安徽

1.5　三角函数的应用 ◇教学目标◇ 【知识与技能】 1.进一步理解直角三角形中的边角关系; 2.能够把实际问题转化为数学问题,并通过解直角三角形解决实际问题,且能够对结果的意义进行说明. 【过程与方法】 经历探索船是否有触礁危险的过程,进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用. 【情感、态度与价值观】 在探究学习的过程中,感受数学与生活的联系,增强学生的数学应用意识. ◇教学重难点◇ 【教学重点】 三角函数在实际生活中的应用. 【教学难点】 根据题意,准确地画出示意图,用三角函数解决实际问题. ◇教学过程◇ 一、情境导入 如图,海中有一个小岛A,它周围8 n mile内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行,在点B处测得小岛A位于北偏东60°方向上,航行12 n mile到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险? 二、合作探究 探究点1　船有无触礁危险 典例1　如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后,到达该岛的南偏西25°的C处,之后,货轮继续往东航行,你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? [解析]　过点A作AD⊥BC于点D, 在Rt△ABD中,∵tan 55°=,∴BD=ADtan 55°. 在Rt△ACD中,∵tan 25°=,∴CD=ADtan 25°. 设AD=x,则BD=xtan 55°,CD=xtan 25°, ∵BC=BD-CD,∴xtan 55°-xtan 25°=20, 解得x=≈20.79,即AD≈20.79海里. ∵20.79>10,∴货轮继续向东航行途中不会有触礁的危险. 变式训练　一艘渔船发出遇险警报,在遇险地点南偏西35°方向,距离为24海里处有一艘轮船,轮船收到警报后立即去抢险,而遇险渔船正向北偏西55°方向以每小时10海里的速度向某岛靠近,经过1小时,轮船靠近渔船,求轮船抢险的航向和速度各是多少? (参考数据:tan 22°37'≈,tan 21°2'≈,sin 24°37'≈,sin 22°37'≈) [解析]　如图所示. 由题意得∠AOF=35°,∠BOE=55°,∴∠AOB=90°,又∵OB=10,OA=24, ∴AB==26, ∴sin∠BAO=,∴∠BAO=22°37', ∵∠GAO=∠AOF=35°,∴∠GAB=12°23', ∴轮船抢险的航向是北偏东12°23'. 答:轮船抢险的航向是北偏东12°23',速度是每小时26海里. 探究点2　坡有多长 典例2　某居民楼紧挨一座山坡AB,经过地质人员勘测,当坡度不超过45°时,可以确保山体不滑坡.如图,已知AE∥BD,斜坡AB的坡角∠ABD=60°,为防止滑坡,现对山坡进行改造,改造后,斜坡BC与地面BD成45°角,AC=10米.求斜坡BC的长.(结果精确到0.1米) [解析]　作AM⊥BD于点M,作CN⊥BD于点N,如图所示. ∵∠ABD=60°,∠CBD=45°, ∴BN=,BM=,BC=, ∵CN=AM,AC=MN=BN-BM,AC=10米, ∴BC==5≈33.4(米). 即斜坡BC的长是33.4米. 【技巧点拨】利用解直角三角形解决实际问题,解题的关键是明确题意,构造相关的直角三角形,利用锐角三角函数和数形结合的思想解决问题. 变式训练　太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中线段AB,CD,EF表示支撑角钢,太阳能电池板紧贴在支撑角钢AB上且长度均为300 cm,AB的倾斜角为30°,BE=CA=50 cm,支撑角钢CD,EF与地面接触点分别为D,F,CD垂直于地面,FE⊥AB于点E.点A到地面的垂直距离为50 cm,求支撑角钢CD和EF的长度各是多少?(结果保留根号) [解析]　如图所示,延长BA交FD的延长线于点G,过点A作AH⊥DG于点H, 由题意知AB=300,BE=AC=50,AH=50,∠AGH=30°, 在Rt△AGH中,∵AG=2AH=100,∴CG=AC+AG=150,则CD=CG=75. ∵EG=AB-BE+AG=300-50+100=350, ∴在Rt△EFG中,EF=EGtan ∠EGF=350×tan 30°=350×, ∴支撑角钢CD的长为75 cm,EF的长为 cm. 三、板书设计 三角函数的应用 ◇教学反思◇ 　　解直角三角形的应用问题,对一部分学生来说,从作辅助线构建直角三角形,到利用方程解答题目,直至描述答案都显得轻松自如;教学过程设计上,对各个问题的解决都充满了观察、猜想、推理和交流等丰富多彩的数学活动,学生不仅获得了计算能力,更重要的是获得了自己去探究数学的