内蒙古一机一中高中数学教学论文：解三角形中的范围问题

摘要：在近几年的高考中，解三角形的大题第二问经常考查范围问题. 为了使学生能够很好的解决此类问题，本文在正余弦定理、面积公式及三角函数相关知识的基础上，结合具体的例题，归纳了解决此类问题常用的两种方法. 关键词：解三角形；范围；减少变量；三角函数；不等式 一、减少变量，转化为求函数的值域问题 1. 在 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c 设向量 ，若 ， ①求角B的大小 ②求 的取值范围． 分析：由向量共线可得两边平方和减第三边的平方，可知要用到余弦定理；第二问中A和C有关，一个用另一个表示，减少变量进而求范围 解析：① ， ．由余弦定理，得 ． [来源:Zxxk.Com] ② ， 注意本题考查：①向量共线的坐标表示②余弦定理、两角差的正弦公式、辅助角公式③第二问中通过减少变量，转化为关于角A的三角函数求范围 变式1：在 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c， ①证明： ②若 外接圆的半径为1，求 周长的取值范围 分析：已知边和角的表达式化简方法：边化角或角化边；第二问涉及外接圆的半径考虑正弦定理，表示出周长后减少变量求范围. 解析：① 由余弦定理得： 整理得： 又 即 ②由 外接圆的半径为1， 可得 即 注意本题考查：①正余弦定理，面积公式②通过减少变量，利用两角差的余弦公式求最值 2. 在 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c, 已知 . ①求角B的大小 ②若a+c=1，求b的取值范围 分析：已知三个角的关系，求角，考虑 ；第二问中已知三边及一角考虑余弦定理 解析：①由题意可知 化简得 又 [来源:学科网] ②由余弦定理得： 即 注意本题考查：①两角和的余弦公式，余弦定理 ②第二问中将 转化为关于 的二次函数，易错点是 这个隐含条件. 变式：在中，、、分别是角、、的对边，． ①求角的值； ②若，求面积的最大值． 分析：已知边和角的表达式化简方法：角化边或边化角；第二问中减少变量转化为二次函数的最值问题 解析：①由正弦定理得， 即 得，因为，所以，得，因为， 所以，又为三角形的内角，所以 ②，由及 得 ， 又，所以当时，取最大值 注意本题考查：①正弦定理，两角和的正弦公式及面积公式 ②通过减少变量，转化为给定区间上二次函数求最值