第09讲 数列求和-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第9讲 高二数学学科素养能力竞赛专题训练——数列求和 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：名校竞赛试题精选 【典型例题】 模块一：易错试题精选 1．数列及其前n项和为满足：，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系式，利用累乘法可求得数列通项公式，再结合裂项求和即可求得的值. 【详解】当时，，即 所以 累乘得：，又，所以 所以 则 . 故选：C. 2．以意大利数学家莱昂纳多•斐波那契命名的数列满足：，，设其前n项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据递推关系式求得正确答案. 【详解】，， …… . 故选：B 3．习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化．某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教．原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人．由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与（，2，）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了70批学生后支教学生的总数，则的值为（    ） A．387 B．388 C．389 D．390 【答案】A 【分析】由题可得，然后根据条件可得数列的前70项含有前6项和64个3，进而即得. 【详解】∵数列满足， ∴，，，，，， ∵在任意相邻两项与（，2，）之间插入个3， ∴其中，之间插入2个3，，之间插入4个3，，之间插入8个3，，之间插入16个3，，之间插入32个3，，之间插入64个3， 又，， ∴数列的前70项含有前6项和64个3， 故． 故选：A. 4．（多选题）已知数列中，，且，，则以下结论正确的是（    ） A． B．是单调递减数列 C． D．若，则（表示不超过x的最大整数） 【答案】ACD 【分析】由条件两边取倒数，变形可判断A选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B选项的正误；利用裂项求和法可判断C选项的正误；求出的表达式，可判断D选项的正误. 【详解】在数列中，，且，，则，，，依此类推，可知对任意的，. 对于A选项，，A选项正确； 对于B选项，，即，所以，数列为单调递增数列，B选项错误； 对于C选项，由A选项可知，， 所以，，C选项正确； 对于D选项，， 所以， ， 由，且得，， 又是单调递增数列，则时，，则， 当时，，不满足要求，当时， 从而，得，D选项正确. 故选：ACD. 5．等差数列中，，，则数列的前2021项和为___________. 【答案】 【分析】设公差为，根据题意求出首项与公差，从而可求得等差数列的通项，再结合余弦函数的周期性，即可得出答案. 【详解】解：设公差为， 由，， 得，解得， 所以， 则， 因为函数得最小正周期为， 所以数列的前2021项和为 . 故答案为：. 6．已知数列的各项均不为零，，前n项和满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）化简已知条件，求得，从而证得数列是等差数列. （2）先求得，然后利用裂项求和法求得. 【详解】（1）依题意，，，， ， ， 两边除以得， 所以数列是以为首项，公差为的等差数列. （2）由（1）得，所以， 所以. 7．已知数列中，，，.设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项的和为，求. (3)设，设数列的前项和，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由，变形为，根据，代入即可证明结论. （2）由（1）可得，利用时，，可得，利用求和公式即可得出数列的前项的和为. （3），利用裂项求和与数列的单调性即可得出结论. 【详解】（1）， ， ，， 数列是等比数列，首项为1，公比为2. （2）由（1）可得， 时，， 时也成立. ， ， 数列是等比数列，首项为1，公比为2. 数列的前项的和为. （3）， 数列的前项和， . 8．已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足：，的前项和为，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)由条件证明数列为等差数列，由等差数列通项公式求的通项，由此可求数列的通项公式；(2)由(1)通过放缩证明，由此证明，利用基本不等式结合放缩证明，由此证明. 【详解】（1）因为，所以，即，又，所以，所以数列为首项为1，公差为1的等差数列，所以， 故，所以数列的通项公式为； （2）因为当时，，所以，所以， 又当，且时，， 所以当， 当，且时，，