第08讲 数列通项的求法-2022-2023学年高二数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

第8讲 高二数学学科素养能力竞赛专题训练——数列通项的求法 【题型目录】 模块一：易错试题精选 模块二：培优试题精选 模块三：名校竞赛试题精选 【典型例题】 模块一：易错试题精选 1．已知数列满足，则数列的前2023项的和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用累加法得到,代入得到,再利用分组求和法计算得到答案. 【详解】因为， 所以，即， 所以 所以. 所以 . 故选：D 2．已知数列的前项和为，，，对任意，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A．64 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和的关系，可推出，.则不等式等价于，令，只需要即可.根据对勾函数的性质，可得出，当时，有最小值. 【详解】当时，， 当时，， 经检验满足. ∴，所以. 又对任意，不等式恒成立， ∴，对任意恒成立， 即，对任意恒成立. 令，.则只需要即可. ，， 由对勾函数性质知在递减，在递增，而， ，. 所以，当时，有最小值. 所以，. 故选：B. 3．已知数列满足，，则=（    ） A．80 B．100 C．120 D．143 【答案】C 【分析】根据，可得，从而可证得数列是等差数列，从而可求得数列的通项，即可得解. 【详解】解：因为， 所以，即， 等式两边开方可得：，即， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列， 所以，所以， 所以. 故选：C． 4．已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】由结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】各项为正的数列， ， 时，， 即，化为：， ，， 又，解得， 数列是等差数列，首项为1，公差为2． ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为2． 故选：D． 5．记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出为等比数列的条件是（    ） A． B． C． D．是等比数列 【答案】A 【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的判定，即可判断正误. 【详解】对于A，已知，所以， 所以是首项为1，公比为2的等比数列， ，符合上式 所以是通项为的等比数列，A选项正确； 对于B，已知，所以， ，不符合上式 所以，B选项错误； 对于C，已知，当首项为零时，不符合题意，C选项错误； 对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为 不符合等比数列的通项公式，D选项错误； 故选：A. 6．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的值可得，由递推公式即可判断B；利用累加法可得，再计算前4项的和即可判断A；由即可判断C；利用裂项相消求和法即可判断D. 【详解】因为， ， ， ……， ， 以上个式子累加可得：， 所以，故选项A错误； 由递推关系可知：，所以B错误； 由，可得，C正确； 因为， 所以， D错误； 故选：C. 7．（多选题）以下为正奇数从小到大依次排成的数阵： 1 3  5 7  9  11 13  15  17  19 …… 第n行有n个数，则（    ） A．该数阵第n行第一个数为 B．该数阵第n行最后一个数为 C．该数阵第n行所有数的和为 D．若数阵前n行总和不大于2023，则n的最大值为9 【答案】AC 【分析】正奇数从小到大为等差数列，数阵第n行第一个数对应m依次为：，则. 对A，第n行第一个数为； 对B，第n行最后一个数为第行第一个数减2； 对C，第n行所有数的和为首项为该行第一个数，公差为2的等差数列的前n项和； 对D，数阵前n行总和为前n行每行所有数的和相加. 【详解】正奇数从小到大为等差数列，数阵第n行第一个数对应m依次为：，则. 对A，第n行第一个数为，A对； 对B，第n行最后一个数为第行第一个数减2，即，B错； 对C，第n行所有数的和为首项为，公差为2的等差数列的前n项和，即，C对； 对D，由第n行所有数的和为，则数阵前n行总和，则有当时，，当时，，故数阵前n行总和不大于2023时n的最大值为8，D错. 故选：AC 8．（多选题）等差数列的前项和为，若.则下列结论正确的有（    ） A． B． C．数列是递减数列 D．使的的最大值为15 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的前n项和的定义求出，，，由等差数列的性质可判断ABC，再由数列的求和公式判断D. 【详解】由可知，，，，即， 由等差数列性质知，故A正确； 由，所以，故B正确； 又数列为等差数列，所以，即数列为递减数列，故C正确； 因为，故D错误. 故选： ABC 9．已知数列的前项和为，则____