常考题型20 任意角、弧度制与三角函数的概念-2022-2023学年高一数学上学期期中期末常考题型重点突破（人教A版2019必修第一册）

常考题型20 任意角、弧度制与三角函数的概念 必备知识 1.角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． ③终边相同的角：终边与角相同的角可写成． 2.弧度制的定义和公式 ①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径． ③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关． ④弧度与角度的换算：；． 若一个角的弧度数为，角度数为，则，． 3.任意角的三角函数 设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么 ①点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作； ②点的横坐标叫角α的余弦函数，记作； ③点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作（）.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数． 4.扇形的弧长及面积公式 (1)弧长公式：在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度． (2)扇形面积公式 5.角度制与弧度制可利用进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，不可混淆. 角度制 弧度制 6.象限角： 象限角 集合 区间 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 7.同角的三角函数关系 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α； (2)tan α＝的变形公式：sin α＝cosαtanα；cos α＝. 方法指导 一、三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦. 二、三角函数线的应用 1．三角函数线的作法步骤 (1)作直角坐标系和角的终边． (2)作单位圆，圆与角的终边的交点为P，与x轴正半轴的交点为A. (3)过点P作x轴的垂线，垂足为M. (4)过点A作x轴的垂线，与角的终边或其反向延长线交于点T. (5)有向线段MP，OM，AT即分别为角的正弦线，余弦线和正切线． 2．利用三角函数线解简单不等式的方法 利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点，一般来说，对于sin x≥b，cos x≥a(或sin x≤b，cos x≤a)，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围；对于tan x≥c(或tan x≤c)，则取点(1，c)，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得． 3．利用三角函数线比较大小的步骤 ①角的位置要“对号入座”； ②比较三角函数线的长度； ③确定有向线段的正负． 三、应用弧度制解决问题的方法 1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题． 3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 四、同角的三角函数关系的应用 1.利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号； 2.利用＝tan α可以实现角α的弦切互化． 3.弦的齐次问题 (1)形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα，cosα的一次齐次式和二次齐次式，对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cosα或cos2α)求解．如果分母为1，可考虑将1写成sin2α＋cos2α. (2)已知tanα＝m的条件下，求解关于sinα，cosα的齐次式问题，必须注意以下几点： ①一定是关于sinα，cosα的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式． ②因为cosα≠0，所以可以用cosnα(n∈N*)除之，这样可以将被求式化为关于tanα的表示式，可整体代入tanα＝m的值，从而完成被求式的求值运算． 4.对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． 5.化简过程中常用的方法有： (1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化为正、余弦函数．从而减少函数名称，达到化简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． 题型探究 探究一：象限角及其判断 已知是第二象限角，则（    ） A