第11讲 角、余角和补角（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年七年级数学上学期期末备考讲与练（人教版）

第11讲 角、余角和补角 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：角的概念理解 必会题型二：角的表示方法 必会题型三：余角和补角 必会题型四：钟面角 必会题型五：与方向角有关的计算题 必会题型六：角的单位与角度制 必会题型七：三角板中角度计算问题 必会题型八：角度的四则运算 必会题型九：角平分线的有关计算 第一部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．角的相关概念 (1)角的静态定义： ①角：有公共端点的两条射线组成的图形． ②顶点和边：公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边． (2)角的动态定义： ①角：由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形． ②始边与终边：起始位置的射线叫作角的始边，终止位置的射线叫作角的终边． ③平角与周角：当终边和始边成一条直线时，形成平角；当终边和始边重合时，形成周角． [名师点睛]表示角时，应注意的事项 (1)用三个大写的英文字母表示角时，必须把表示角的顶点的字母写在中间． (2)当角的顶点处只有一个角时，也可以用一个大写的英文字母表示角． (3)用阿拉伯数字或小写的希腊字母表示角时，一定要在图中该角的位置画出小弧线并标出数字或小写的希腊字母，方可使用． (4)在实际表示中，同一个角可能有多种表示方法，一般选取较简易的表示方法． 2．角的度量及换算 (1)角的度量单位：度、分、秒． (2)度分秒的换算：1°＝60′，1′＝60″． (3)角的度量工具：量角器． (4)角的度量方法： ①对中：角的顶点与量角器的中心对齐； ②重合：角的一边与量角器的零刻度线重合； ③读数：读出另一边所对的量角器上的度数． [例]21°17′21″×3＝21°×3＋17′×3＋21″×3＝63°＋51′＋63″[＝63°52′3″． [名师点睛]角度的运算规律 (1)加法：度与度相加，分与分相加，秒与秒相加，分、秒从小到大满60就向高一级单位进1； (2)减法：度与度相减，分与分相减，秒与秒相减，当秒、分中被减数小于减数时，要从高一级单位借1，转化为60秒或60分； (3)乘法：用乘数分别乘度、分、秒，然后分、秒从小到大满60进1； (4)除法：用除数分别去除度、分、秒，若有余数，则乘60后加到下一级单位上继续除，最后四舍五入精确到秒，也可把度、分、秒化成度表示的形式后进行计算． 3．角的比较方法 (1)叠合法：把角的一条边叠合在一起，观察另一条边的位置比较两个角的大小． (2)度量法：用量角器量出角的度数，然后比较他们的大小． 4．角的平分线 (1)定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线． (2)应用： ①若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC； ②若∠AOC＝∠BOC，则OC是∠AOB的平分线． 5．角的和差：如图所示，图中共有三个角：∠AOB，∠BOC和∠AOC． 它们之间的和差关系为： 和：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC． 差：∠AOB＝∠AOC－∠BOC．∠BOC＝∠AOC－∠AOB． [名师点睛]求角的度数时常用到的两种思想方法 (1)数形结合思想：借助图形寻找角之间的和差关系． (2)方程思想：先找出能够沟通题目中所有数量关系的关键量，再用未知数表示所涉及的量，列出方程，求出未知量． 6．余角和补角 定义 性质 余角 文字语言 如果两个角的和等于90º (直角)，就说这两个角互为余角，其中每一个角是另一个角的余角 同角(等角)的余角相等 几何语言 若∠A＋∠B＝90º，则∠A是∠B的余角，∠B是∠A的余角 若∠A＋∠C＝90º，∠B＋∠C＝90º，则∠A＝∠B 补 角 文字语言 如果两个角的和等于180º (平角)，就说这两个角互为补角，其中一个角是另一个角的补角 同角(等角)的补角相等 几何语言 若∠A＋∠B＝180º，则∠A是∠B的补角 若∠A＋∠C＝180º，∠B＋∠C＝180º，则∠A＝∠B [名师点睛](1)互为余角的角和互为补角的角反映了角的数量关系． (2)“互余”与“互补”是两个角之间的关系，若两个以上的角的和为90º或180º，则它们不能称为“互余”或“互补”． (3)互余的两角之和等于90º，其中任何一角都小于90º；互补的两角之和等于180º，其中的两角不可能都小于90º，也不可能都大于90º． (4)不要认为互余或互补的角一定是相邻的角．事实上，互余或互补对角的位置没有任何要求． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：角的概念理解 1．下列说法正确的是( ) A．平角的终边和始边不一定在一条直线上 B．角的边越长，角越大 C．大于直角的角叫做钝角