3.9 二次函数与几何图形的简单综合-【中考零距离】2023中考数学配套课件

第三章 函数 第九节　二次函数与几何图形的简单综合 B 考点 二次函数与几何图形的综合 【例】（2022·山东烟台）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝-1. （1）求抛物线的表达式. （2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时点D的坐标. （3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由. 【思路分析】 （1）先求得A，C，B三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作DF⊥AB于点F，交AC于点E，根据点D和点E的坐标可表示出DE的长，进而表示出△ADC的面积，从而表示出S的函数表达式，进一步求得结果； （3）根据菱形的性质可得PA＝PC，进而求得点P的坐标，根据菱形的性质，进一步求得点Q的坐标. 解： （1）当x＝0时，y＝4，∴ C（0，4）. 当y＝0时，x+4＝0，∴ x＝-3，∴ A（-3，0）. ∵ 对称轴为直线x＝-1，∴ B（1，0）， ∴ 设抛物线的表达式为y＝a（x-1）（x+3）， ∴ 4＝-3a，∴ a＝-， ∴ 抛物线的表达式为y＝-（x-1）（x+3）＝-x2-x+4. 解： （2）如图，作DF⊥AB于点F，交AC于点E， ∴ ，， ∴ DE＝-m2-m+4-＝-m2-4m， ∴ S△ADC＝DE·OA＝＝-2m2-6m. ∵ S△ABC＝AB·OC＝×4×4＝8， ∴ S＝-2m2-6m+8＝-+， ∴ 当m＝-时，S最大＝， 此时，y＝-××＝5， ∴ 点D的坐标为. 解： （3）设P（-1，n）， ∵ 以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形， ∴ PA＝PC，即PA2＝PC2，∴ （-1+3）2+n2＝1+（n-4）2， 解得n＝，∴ 点P的坐标为. ∵ xP+xQ＝xA+xC，yP+yQ＝yA+yC， ∴ xQ＝-3-（-1）＝-2，yQ＝4-＝， ∴点Q的坐标为. 变式: （2022·山东聊城）在平面直角坐标系中，二次函数y＝-x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝-1，顶点为点D. （1）求二次函数的表达式. （2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO. （3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝-x2+bx+c的图象，使顶点D沿射线DM的方向平移到点D1，且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N.若在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标. 　        ①           ② （1）解：由题意得解得∴ 二次函数的表达式为y＝-x2-2x+3. （2）证明：∵ 当x＝-1时，y＝-1-2×（-1）+3＝4，∴ D（-1，4）. 由-x2-2x+3＝0，得x1＝-3，x2＝1， ∴ A（-3，0），B（1，0），∴ AD2＝20. ∵ C（0，3），∴ CD2＝2，AC2＝18， ∴ AC2+CD2＝AD2，∴ ∠ACD＝90°， ∴ tan∠DAC＝＝＝. ∵ ∠BOC＝90°，∴ tan∠BCO＝＝， ∴ tan∠DAC＝tan∠BCO，∴ ∠DAC＝∠BCO. （3）解：如图，作DE⊥y轴于点E，D1F⊥y轴于点F，则DE∥FD1，∴ △DEC∽△D1FC， ∴ ＝＝＝2， ∴ FD1＝2DE＝2，CF＝2CE＝2，∴ D1（2，1），∴ y1的表达式为y＝-（x-2）2+1. 当x＝0时，y＝-3，∴ N（0，-3）. 同理可得＝，∴ ＝，∴ OM＝3，∴ M（3，0）. 设P（2，m），当四边形MNQP是平行四边形时，MN∥PQ，PQ＝MN， ∴ 点Q的横坐标为-1，当x＝-1时，y＝-（-1-2）2+1＝-8，∴ Q（-1，-8）； 当四边形MNPQ是平行四边形时，同理可得点Q的横坐标为5. 当x＝5时，y＝-（5-2）2+1＝-8，∴ Q′（5，-8）. 综上，点Q的坐标为（-1，-8）或（5，-8）. $