提分微专题7 6种方法解决角平分线问题-【中考零距离】2023中考数学配套课件

第四章 图形的初步认识与三角形 提分微专题6　 6种方法解决角平分线问题 方法一　过角平分线上的点向两边作垂线 模型解读：如图，点P是∠MON的平分线上一点，PA⊥OM于点A，过点P作PB⊥ON于点B，则PB＝PA，Rt△AOP≌Rt△BOP.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”.在这个基本图形中，可以利用角平分线的性质定理得到线段相等，也可以得到一组全等三角形. C 2.（2022·山东泰安）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（　　） A.40° B.45° C.50° D.60° 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝4，DE＝1.6，则BD的长为　　　　. 2.4 方法二　角平分线遇平行线，构造等腰三角形 模型解读：当图中有角平分线时，可以过角平分线上的一点作角一边的平行线或过角一边上的一点作角平分线的平行线，构造出等腰三角形.可记为“角平分线加平行线，等腰三角形必呈现”. 如图，点P在∠AOB的平分线上，若过点P作PQ∥OB交OA于点Q，则△POQ是等腰三角形. 如图，OC是∠AOB的平分线，点D是OA上的一点，若过点D作DE∥OC交BO的延长线于点E，则△EOD是等腰三角形. 方法应用 4.如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE＝150°，则∠C＝（　　） A.150° B.30° C.120° D.60° C 2 5.如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，若EC＝1，则OF＝　　　　. 6.如图，在△ABC中，点E在AB上，ED∥BC交∠ABC的平分线于点D，交AC于点F，若AB＝6，BC＝5，AE＝2，则DF的长为　　　　. 方法三　利用角平分线，构造对称图形 模型解读：如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB，则△OPB≌△OPA.可记为“图中有角平分线，可将图形对折看，对称以后关系现”.这个方法利用角平分线的对称性把一些线段和角进行转移，是常用的解题技巧. 方法应用 7.如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，求证：BC＝AB+CE. 证明：如图，在BC上截取BF＝AB，连接DF. ∵ BD是∠ABC的平分线， ∴ ∠1＝∠2. 在△ABD和△FBD中， ∴ △ABD≌△FBD（SAS）， ∴ DF＝DA＝DE. 又∵ ∠A＝100°，∠ABC＝40°，∴ ∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°-∠A＝80°，∴ ∠FDC＝60°. ∵ ∠EDC＝∠ADB＝180°-∠1-∠A＝180°-20°-100°＝60°， ∴ ∠FDC＝∠EDC， ∴ △DCE≌△DCF（SAS）， ∴ CE＝CF，∴ BC＝BF+CF＝AB+CE. 方法四　作角平分线的垂线构造等腰三角形 模型解读：如图，点P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，则△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，OP为△AOB的高、中线和角平分线，Rt△AOP≌Rt△BOP.可记为“角平分线上遇垂直，三线合一试试看”，这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系在了一起. 4 8.如图，已知S△ABC＝8 m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC＝　　　　m2. 9.如图，已知点D为△ABC内一点，AD平分∠CAB，BD⊥AD，∠C＝∠CBD.若AC＝10，AB＝6，则AD的长为　　　　. 方法五　两内角平分线夹角 模型解读：如图，若点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点（点P是△ABC的内心），PD∥AB，PE∥AC，FG∥BC，则∠BPC＝90°+∠A，△PDE的周长＝BC，△AFG的周长＝AB+AC. A,B,D 方法应用 10.［多选题］如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，AD经过点O与BC交于点D ，以AD为边向两侧作等边三角形ADE和等边三角形ADF，分别与AB，AC交于点G，H，连接GH.若∠BOC＝120°，AB＝a，AC＝b，AD＝c，则下列结论正确的是（　　 ） A.∠BAC＝60° B.△AGH是等边三角形 C.AD与GH相互垂直平分 D.S△ABC＝（a+b）c 7 11.如图，点O为△ABC的内心，将∠ABC平移使顶点B与点O重合，两边与AC分别交于点D和E，若AB＝5，BC＝4，AC＝7，则△O