提分微专题5 线段的最值问题-【中考零距离】2023中考数学配套课件

第四章 图形的初步认识与三角形 提分微专题5　 线段的最值问题 3 2.4 3 模型一 垂线段最短 类型一　点到直线的所有线段中，垂线段最短 模型分析：问题：如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A，B之间距离的最小值. 解题思路：通常过点A作直线l的垂线AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短. 模型应用 1.（2022·贵州毕节）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ长度的最小值为　　　　.（解析见下页） 解析：∵ ∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5， ∴ AC＝＝＝4. ∵ 四边形PAQC是平行四边形， ∴ PO＝QO，CO＝AO＝2. 如图，过点O作BC的垂线OP′，垂足为P′. ∵ ∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°， ∴ △CAB∽△CP′O， ∴ ＝，即 ＝，∴ OP′＝， ∴ PQ的最小值为2OP′＝. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，点E是AB上任意一点，若AD＝5，AC＝4，则DE的最小值为　　　　. 类型二　两条线段之和最小型 模型分析：问题：点P是∠AOB的边OB上一定点，点N是OB上一动点，在OA上找一点M，使得PM+MN的值最小. 解题思路：要使PM+MN的值最小，可设法将PM，MN转化到同一条直线上，利用垂线段最短求解. 模型应用 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AD是∠BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是　　　　. 模型二　“胡不归”问题 模型分析： 问题：点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P是直线l上的一个动点，要使kAP+BP（0<k<1）的值最小. 解题步骤：第一步：作角（过点A作∠NAP，使sin∠NAP＝k）； 第二步：作垂直（构造直角三角形，在Rt△APE中将kAP转化为PE）； 第三步：化折为直（使得kAP+BP＝PE+BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长）. 模型应用 4.如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝8，BC＝3，P为边CD上一动点，则PB+PD的最小值等于　　　　. （解析见下页） 解析：如图，过点P作PE⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BP. ∵ AB∥CD，∴ ∠EDP＝∠DAB＝45°， ∴ sin∠EDP＝＝，∴ PE＝PD，∴ PB+PD＝PB+PE， ∴ 当点B，P，E三点共线且BE⊥AD时，PB+PE有最小值，即最小值为BE. ∵ sin A＝＝，∴ BE＝. 5.如图，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4，点P为AB上一点，连接PC，则PC+PB的最小值为　　　　. （解析见下页） 解析：如图，作∠ABE＝30°，过点C作CD⊥BE于点D，则此时PC+ PB的值最小. ∵ ∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝4， ∴ sin∠CBA＝＝＝，BC＝＝，∴ ∠CBA＝30°. ∵ ∠ABE＝30°，∴ ∠CBE＝60°， ∴ sin 60°＝＝＝，解得CD＝3， ∴ PC+PB＝CD＝3. $