提分微专题4 利用二次函数求实际问题中的最值-【中考零距离】2023中考数学配套课件

第三章 函数 提分微专题4　利用二次函数求实际问题中的最值 C C 大家已经知道，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）在自变量x取任意实数时的最值情况：当a>0时， 函数在x＝-处取得最小值，无最大值；当a<0时，函数在x＝-处取得最大值，无最小值. 下面我们介绍，当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题. 【方法总结】 二次函数的性质：设y＝ax2+bx+c （a≠0），m≤x≤n（m<n）. 1.当a>0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可求得y的最值： （1）如图①②，若m≤-≤n，则当x＝-时，y取得最小值；y的最大值在x＝m或x＝n处取得.     　       ①        　 　 ②     　       ③       　　   ④ （2）如图③，若-<m，二次函数在m≤x≤n时的图象是上升的， 则当x＝m时，y取得最小值；当x＝n时，y取得最大值. （3）如图④，若->n，二次函数在m≤x≤n时的图象是下降的， 则当x＝n时，y取得最小值；当x＝m时，y取得最大值. 2.当a<0时，它的图象是开口向下的抛物线，数形结合可求得y的最值： （1）如图⑤⑥，若m≤-≤n，则当x＝-时，y取得最大值； y的最小值在x＝m或x＝n处取得. 　           ⑤    　   ⑥ 　         ⑦       　 　　 ⑧ （2）如图⑦，若-<m，二次函数在m≤x≤n时的图象是下降的， 则当x＝n时，y取得最小值；当x＝m时，y取得最大值. （3）如图⑧，若->n，二次函数在m≤x≤n时的图象是上升的， 则当x＝m时，y取得最小值；当x＝n时，y取得最大值. 二次函数的最值模型的特征: （1）对称轴在自变量x的取值范围内； （2）对称轴不在自变量x的取值范围内. 求二次函数的最值的解题思路: 第一步，画出二次函数的大致图象； 第二步，确定二次函数图象的对称轴； 第三步，根据给定的自变量x的取值范围，确定函数的最值. 模型一 面积最值问题 方法指导：此类型最常见的是图形面积最值问题.此类题含有两个变化的未知量，可以设其中一个为自变量，再利用图形中存在的等量关系用这个自变量表示出另一个变化的未知量，从而利用图形面积公式等列出二次函数的表达式，进而利用二次函数的性质求出最值.注意这里的等量关系可以是周长公式、由相似得到比例式、勾股定理、锐角三角比等. 1.某单位准备靠墙（如图中线段MN所示）开辟一处长方形的土地进行绿化，除墙体外三面都要用栅栏围起来，计划用栅栏50 m. （1）不考虑墙体长度，长方形各边的长为多少时，长方形的面积最大？ （2）若墙体长度为20 m，问长方形的面积最大是多少？ 解：（1）设AB＝x，则BC＝50-2x，长方形的面积为y，得 y＝x（50-2x）＝-2x2+50x＝-+. 当x＝时，y最大值＝，BC＝50-2×＝25. 答：当AB＝ m，BC＝25 m时，长方形的面积最大. （2）若墙体长度是20 m，则BC≤20，得AB≥15.在函数 y＝-2x2+50x中，a＝-2<0，当x>时，y随x的增大而减小， ∴ 当x＝15时，y最大值＝300. 答：长方形的面积最大是300 m2. 2.（2022·四川自贡）九年级（2）班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园的面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（　　）   方案1       方案2 方案3 A.方案1 B.方案2 C.方案3 D.方案1或方案2 解析：方案1，如图①，设AD＝x米，则AB＝（8-2x）米，菜园的面积＝x（8-2x）＝-2x2+8x＝-2（x-2）2+8， 当x＝2时，此时菜园的最大面积为8平方米. 方案2，如图②，当∠BAC＝90°时，菜园的最大面积＝×4×4＝8（平方米）. 　   ①　 ② 方案3，半圆的半径＝，此时菜园的最大面积＝＝（平方米）>8（平方米）. 模型二　利润最值问题 方法指导： 3.（2022·山东青岛）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱重10千克