专题19 数列求和归类-【巅峰课堂】2022-2023学年高二数学热点题型归纳与分阶培优练（人教A版2019选择性必修第二册）

专题19 数列求和归类 目录 【题型一】公式法求和1（等差） 1 【题型二】 公式法求和2（等比） 2 【题型三】倒序求和 3 【题型四】 错位相消 4 【题型五】正负相间求和 4 【题型六】 裂项相消基础 5 【题型七】分组求和1：等差等比分组 5 【题型八】分组求和2：裂项分组 6 【题型九】分组求和3：正负相间分组 7 【题型十】分段数列求和 7 【题型十一】裂项相消拔高1：f（x）型裂项 8 【题型十二】裂项相消拔高2：指数型裂项 8 培优第一阶——基础过关练 9 培优第二阶——培优拔尖练 10 【题型一】公式法求和1（等差） 【典例分析】 ．已知数列中，，. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【提分秘籍】 基本规律 等差数列求和公式： (1)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝. （2） 且 ； （3）且为等差数列； （4） 为等差数列. 【变式训练】 在等比数列中，，． (1)求； (2)设，求数列的前项和． 【题型二】 公式法求和2（等比） 【典例分析】 已知数列满足，. (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的前12项和. 【提分秘籍】 基本规律 等比数列有关公式： (1) 通项公式：an＝a1qn－1； (2) (2)前n项和公式：Sn＝ （3） 【变式训练】 在①，②，③数列为等比数列这三个条件中选出两个，补充在下面的横线上，并解答这个问题. 问题：已知等比数列的前项和为，___________. (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，且，求的值. 注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【题型三】倒序求和 【典例分析】 已知函数． (1)证明函数的图像关于点对称; (2)若，求； 【提分秘籍】 基本规律 若函数f（x）有对称中心，则数列f（n）的前n项和，可以借助对称中心构建倒序求和。所以倒序求和，多是具有中心对称的 【变式训练】 设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值； (2)若且求； 【题型四】 错位相消 【典例分析】 已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，记，证明：. 【提分秘籍】 基本规律 错位相减法：形如an＝，用错位相减法求解． 思维结构结构图示如下 【变式训练】 数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和. 【题型五】正负相间求和 【典例分析】 已知等比数列的前项和为为常数）. (1)求的值，并写出数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【提分秘籍】 正负相间求和： 1.奇偶项正负相间型求和，可以相邻的正负两项结合构成“常数数列”。 2.如果需要讨论奇偶，一般情况下，先求偶，再求奇。求奇时候，直接代入偶数项公式，再加上最后的奇数项通项。 【变式训练】 已知数列的各项均为正数的等比数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【题型六】 裂项相消基础 【典例分析】 已知等差数列中， ， 为其前项和， . (1)求数列的通项公式； (2)令， ， ，若对一切成立，求最小正整数的值. 【提分秘籍】 基本规律 基本规律 裂项相消法：常用的裂项公式有： ①＝－； ②＝； 【变式训练】 已知公差不为0的等差数列满足，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前项和为，并求使得成立的最小正整数. 【题型七】分组求和1：等差等比分组 【典例分析】 已知数列的首项，且满足. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前项和. 【提分秘籍】 基本规律 形如an＝，用分组求和法，分别求和而后相加（减） 【变式训练】 已知正项等比数列满足且是的等差中项，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 【题型八】分组求和2：裂项分组 【典例分析】 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【提分秘籍】 基本规律 形如an＝，用分组+裂项求和法求和，分别求和而后相加减 【变式训练】 已知公比大于1的等比数列满足，，数列的通项公式为 (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和Tn． 【题型九】分组求和3：正负相间分组 【典例分析】 已知数列的前n项和公式为． (1)求证：数列是等比数列； (2)令，求数列的前n项和； 【提分秘籍】 基本规律 .形如，多可以通过奇偶取值，再各自求和，得到奇数项或者偶数项和 【变式训练】 在等比数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【题型十】分段数列求和 【典例分析】 .已知数列满足 (1)求的值； (2