专题07 全等三角形之截长补短模型-2023年中考数学几何模型专项复习与训练（四川专用）

专题07 全等三角形之截长补短模型 模型一、截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF， 可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°， ∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG. 模型二、补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）， 可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°， 又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG， 所以BF=NG=NC+CG=DF+CG. 例1．（2022·四川泸州·中考真题）如图，在边长为3的正方形中，点是边上的点，且，过点作的垂线交正方形外角的平分线于点，交边于点，连接交边于点，则的长为（    ） A． B． C． D．1 例2．（2018·四川甘孜·中考真题）如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D，E分别在AB，BC上，∠EAD=∠EDA，点F为DE的延长线与AC的延长线的交点． （1）求证：DE=EF； （2）判断BD和CF的数量关系，并说明理由； （3）若AB=3，AE=，求BD的长． 例3．（2013·四川南充·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC,AE=1，连接BE，则tanE= . 【变式训练1】（2021·四川泸州·二模）如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别在AB，AD上，若CE=3，且∠ECF=45°，则CF长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式训练2】（2022·四川广元·一模）如图，在中，，，，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练3】（2021·四川成都·二模）已知，如图，BC=DC，∠B+∠D=180°． 连接AC，在AB，AC，AD上分别取点E，P，F，连接PE，PF． 若AE=4，AF=6，△APE的面积为4，则△APF的面积是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 课后训练 1．（2022·四川·绵阳中学英才学校八年级期中）已知：如图，中，E在上，D在上，过E作于F，，，，则的长为 ___________． 2．（2021·四川省南充市高坪中学八年级期中）如图1，四边形是正方形，点是边的中点，连接，过E作的垂线交的外角平分线于F． (1)求证： (2)如图若E在BC的延长线上，（1）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立说明理由． 3．（2022·全国·八年级专题练习）如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 4．（2021·四川成都·九年级期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将点C绕点B顺时针旋转105°得到点D，连接BD，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，点F为线段DE上的一点，且∠DBF＝45°，作∠BFD的角平分线FG交AB于点G． （1）求∠BFD的度数； （2）求BF，DF，GF三条线段之间的等量关系式； （3）如图2，设H是直线DE上的一个动点，连接HG，HC，若AB＝，求线段HG+HC的最小值（结果保留根号）． 5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在中，，，是边的中点，以为边作等边三角形，且与在直线的异侧，连接交的延长线于点，连接交于点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求的长． 6．（2020·四川成都·八年级期末）已知，，分别在边，上取点，，使，过点平行于的直线与过点平行于的直线相交于点．点，分别是射线，上动点，连接，，． （1）求证：； （2）如图，当点，分别在线段，上，且时，请求出线段，，之间的等量关系式； （3）如图，当点，分别在，的延长线上，且时，延长交于点，延长交于点．请猜想线段，，之间的等量关系，并证明你的结论． 7．（2022·全国·八年级专题练习）通过类比联想、引申拓展典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整． 【解决问题】 如图，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，，连