第08讲 幂函数及函数的综合（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（人教A版2019必修第一册）

第8讲 幂函数及函数的综合 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：幂函数的概念与判断 必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象 必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性 必会题型四：几类常见函数模型 必会题型五：函数的综合应用 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．幂函数的概念：如果一个函数，底数是自变量x，指数是常数α(注：α为任意实数)，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．幂函数满足三个特征： (1)幂xα的系数为1； (2)底数只能是自变量x，指数是常数； (3)项数只有一项．只有满足这三个特征，才是幂函数． 形如y＝(2x)α，y＝2·xα，y＝xα＋2等形式的函数不是幂函数． 2．幂函数的图像及性质 (1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；幂函数的图像过定点(1，1)； (2)当α＞0时，在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，在(0，＋∞)上单调递减． (3)当α≤0时，幂函数与坐标轴无交点 3．幂函数的奇偶性：令‍(其中‍‍互质，‍．) (1)若‍‍为奇数，则‍‍的奇偶性取决于‍‍是奇数还是偶数．‍当‍‍是奇‍数时，‍‍是奇函数；当‍‍是偶数时，‍‍是偶函数． (2)若‍‍为偶数，则‍‍必是奇数，此时‍‍既不是奇函数，也不是偶‍函数． 4．常见几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 (，为常数，) 二次函数模型 (，，为常数，) 分段函数模型 幂函数模型 (，，为常数，) 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：幂函数的概念与判断 1．(2022·江苏·马坝高中高一期中)下列函数是幂函数的是(    ) A． B． C． D． 2．(2022·全国·高一课时练习)在函数①，②，③，④，，⑥中，是幂函数的是(   ) A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥ 3．[多选](2020·湖南·嘉禾县第一中学高一阶段练习)下列函数为幂函数的是(    ) A． B． C． D． 必会题型二：幂函数的定义域、值域及图象 1．(2022·河北保定·高一期中)已知幂函数的图象经过点，则(    ) A．3 B． C．9 D． 2．(2023·全国·高三专题练习)下列命题中正确的是(    ) A．当时，函数的图像是一条直线； B．幂函数的图像都经过和点； C．幂函数的定义域为； D．幂函数的图像不可能出现在第四象限． 3．[多选](2022·甘肃·永昌县第一高级中学高一期中)下列说法正确的是(    ) A．若幂函数的图象经过点，则幂函数的解析式为. B．若函数，则在区间上单调递减. C．若正实数，满足，则. D．若函数，则对任意，有. 4．(2022·江苏·泰州中学高一期中)已知是幂函数， (1)若函数过定点，求函数的表达式和定义域； (2)若，求实数的取值范围. 必会题型三：幂函数的奇偶性及单调性 1．若为幂函数，且在上单调递减，则的解析式可以是(    ) A． B． C． D． 2．(2022·全国·高一专题练习)已知幂函数的图象过点，则下列关于说法正确的是(    ) A．奇函数 B．偶函数 C．在单调递减 D．定义域为 3．(2022·江苏省南通中学高一期中)已知函数是幂函数，且时，单调递减，则的值为(    ) A． B．1 C．2或 D．2 4．[多选](2022·广东东莞·高一期中)已知幂函数的图象经过点，则(    ) A．函数为奇函数 B．函数在定义域上为减函数 C．函数的值域为 D．当时， 5．(2021·河北·武安市第一中学高一阶段练习)已知幂函数)是偶函数，且在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)若，求的取值范围； 必会题型四：几类常见函数模型 1．(2022·浙江·舟山中学高一期中)某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示： 可享受折扣优惠的金额 折扣率 不超过400元部分 超过400元部分 若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为(    )A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元 2．(2022·黑龙江·鸡西市英桥高级中学高二期中)某公司生产一种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，已知总收益满足函数，其中是仪器的月产量． (1)将利润表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润) 3．(2022·全国·高一专题练习)如图，某中学准备