第07讲 函数的奇偶性（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（人教A版2019必修第一册）

第7讲 函数的奇偶性 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：函数奇偶性的定义与判断 必会题型二：利用奇偶性求值及范围 必会题型三：由奇偶性求函数解析式 必会题型四：抽象函数的奇偶性 必会题型五：奇偶性与单调性综合 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．函数的奇偶性 (1)奇函数：图像关于原点对称的函数叫奇函数， f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x) [或f(－x)＋f(x)＝0]； (2)偶函数：图像关于y轴对称的函数叫偶函数， f(x)为偶函数⇔f(－x)＝f(x) [或f(－x)－(x)＝0]． 2．函数对称性 (1)若函数y＝f(x)对x∈R满足f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)则函数关于直线x＝a对称； 注意：若对x∈R满足f(a＋x)＝f(b－x)，则函数关于直线x＝对称 [注x＝＝]． (2)若函数y＝f(x)对x∈R满足f(a＋x)＝－f(a－x)或f(x)＝－f(2a－x)则函数关于点(a，0)对称； 注意：若对x∈R满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数关于点(，0)对称 [注x＝＝]． 3．奇偶性的判断方法 (1)定义法：函数的定义域关于原点对称的情况下满足f(－x)＝±f(x)或f(－x)±f(x)＝0或＝±1(f(x)≠0)之一函数有奇偶性． (2)图像法：函数图象关于原点(y轴)⇔函数为奇(偶)函数 (3)分析法：定义域关于原点对称时， 奇×偶＝奇；奇×奇＝偶；偶×偶＝偶；奇±奇＝奇；偶±偶＝偶； (4)复合函数F(x)＝f[g(x)]的奇偶性(有偶则偶，无偶为奇)： ①若g(x)为偶函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数； ②若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为奇函数； ③若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数； ④若g(x)为偶函数，f(x)为奇函数，则F(x)为偶函数． [名师点睛]分段函数的奇偶性可根据定义分区间讨论也可根据函数图象的对称性加以判断． 4．函数奇偶性的特性 (1)定义域含零的奇函数，必过原点[即f(0)＝0]； (2)若f(x)是偶函数，f(x)＝f(－x)＝f(|x|)； (3)奇函数在y轴两侧相对称的区间单调性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间单调性相反； (4)在原点对称的区间内，奇函数的最大值M与最小值N之和为零． 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：函数奇偶性的定义与判断 1．(2022·重庆南开中学高一期中)下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是(    ) A． B． C． D． 2．(2022·上海市浦东复旦附中分校高一期中)下列函数中，不是偶函数的是(    ) A． B． C． D． 3．(2022·浙江·镇海中学高一期中)下列判断正确的是(    ) A．函数既是奇函数又是偶函数 B．函数是非奇非偶函数 C．函数是偶函数 D．函数是奇函数 4．[多选](2022·黑龙江·哈尔滨三中高一阶段练习)下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数是(    ) A． B． C． D． 必会题型二：利用奇偶性求值及范围 1．(2022·河南·高一期中)设是定义在上的奇函数，则(    ) A．4 B．5 C．6 D．7 2．(2022·海南·高三阶段练习)已知是定义在上的奇函数，当时，(m为常数)，则(    ) A．56 B． C．54 D． 3．(2022·浙江·乐清市知临中学高一期中)已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则(    ) A． B． C．0 D．2 4．(2022·湖南·常德市一中高一期中)已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围为(    ) A． B． C． D． 必会题型三：由奇偶性求函数解析式 1．(2022·江苏·南京市雨花台中学高一期中)已知是定义在上的偶函数，当时，，则时，(    ) A． B． C． D． 2．(2022·广东·广州四十七中高一期中)是R上的奇函数，当时，，则时，(    ) A． B． C． D． 3．(2022·辽宁·昌图县第一高级中学高一期中)已知奇函数与偶函数满足，则(    ) A． B． C． D． 4．(2022·福建福州·高一期中)已知函数定义域为，且函数的图象关于原点对称，当时，函数，则函数的解析式为___． 5．(2022·辽宁·凤城市第一中学高一期中)已知函数是定义域为的奇函数，当时，． (1)求函数的解析式； (2)求关于不等式的解集． 必会题型四：抽象函数的奇偶性 1．(2022·河南·郑州市回民高级中学高一期中)若定义在R上的函数满足：对