专题01 集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学必背知识手册

集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表） 1.集合的有关概念 （1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）五个特定的集合 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N*或N＋ 2.集合间的基本关系 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A⊆B 真子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中至少有一个元素不是集合A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为∁UA 图形表示 集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 4.集合的运算性质 (1)A∩A＝A，A∩＝，A∩B＝B∩A. (2)A∪A＝A，A∪＝A，A∪B＝B∪A. (3)A∩(∁UA)＝，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. 5．常用结论 （1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）； 空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅A）． （2）子集个数：若有限集A中有n个元素， 则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有个． 典例1：已知集合，，则的子集的个数为（ ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为集合，，所以， 所以的子集的个数为个.故选B. 典例2：已知集合，则集合的真子集的个数为（ ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】D 【详解】由题意得， 其真子集有个.故选D. （3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B． （4）(∁UA)∩(∁UB)＝∁U(A∪B)，(∁UA)∪(∁UB)＝∁U(A∩B) ． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 7.充分、必要条件与集合的关系 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． （1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB； （2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA； （3）p是q的充要条件⇔A＝B． 8.全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、某些等 9.全称命题和特称命题 名称 形式　　 全称命题 特称命题 语言表示 对M中任意一个x，有p(x)成立 M中存在元素x0，使p(x0)成立 符号表示 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 10.全称命题与特称命题的否定 <知识记忆小口诀> 集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显． <解题方法与技巧> 集合基本运算的方法技巧： （1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算； （2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验. 集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合. 充要条件的两种判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. （2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意： （1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解. （2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象. （3）数学定义都是充要条件. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $