4.3.1.2 等比数列的性质 教案-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

贵州省凯里一中 人教A版高中数学 选择性必修第二册 教学设计 尹 洪 QQ 7434510 第四章 数列 4.3 等比数列 4.3.1.2 等比数列的性质 一、教学目标 1、正确理解等比数列的概念及其性质；了解通项公式的推导过程，掌握等比数列的通项公式. 2、通过对等比数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力，培养学生思维的深刻性和灵活性. 二、教学重点、难点 重点：等比数列的概念及其性质，利用通项公式逐步解决问题. 难点：等比数列通项公式推导过程中体现出的数学思想方法. 三、学法与教学用具 1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具：多媒体设备等 四、教学过程 （一）创设情景，揭示课题 【情景】在等比数列中，，则 (　　) A. 8 B. 16 C. 32 D. 64 解：由已知，， 所以，故选C 【问题】你还有其他的解法吗？ 【揭秘】由等比数列的性质知，所以， 又，所以，故选C 【思考】类比等差数列的研究，如何研究和发现等比数列的性质? （二）阅读精要，研讨新知 【回顾】 等比数列(geometric progression) 定义 ，为常数，称为公比 等比中项 三个数成等比数列，则 通项公式 ， 【分析】等比数列的形式： 【发现】 【性质】在等比数列中， （1）若，则. （2）若，则为递增数列；若，则为递减数列；若，则为常数列. 【应用】见上述之情景揭秘. 【例题研讨】阅读领悟课本例4、例5、例6（用时约为3-4分钟，教师作出准确的评析.） 例4用10 000元购买某个理财产品一年. （1）若以月利率0.400%的复利计息， 12个月能获得多少利息(精确到1元)? （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息(精确到)? 【金融知识】复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息，所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和构成等比数列. 解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列， 则是等比数列，且 ， 所以 所以，12个月后的利息为 (元). （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列， 则也是一个等比数列， 且，于是 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 解不等式，得 所以，当季度利率不小于1. 206%时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 例5已知数列的首项. （1）若为等差数列，公差,证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列. 【温馨提示】推证过程与课本有所不同. 证明：（1）由, ,得 设,则 所以，是以 27为首项，9为公比的等比数列. （2）由, ，得 因为 所以，是首项为1， 公差为的等差数列. 例6某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%. 从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品，1 月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前个月的基础 上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%， 那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内? 解：设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列. 由题意，知， ，其中 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 由计算工具计算(精确到0.1),并列表(表4.3-1). 1 2 3 4 5 6 7 105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减， 所以只要设法证明当时，递减，即可. 由解得 所以当时，递减，又 所以，生产该产品一年后，月不合格品的数量能控制在100个以内. 【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5，同桌交换检查，老师答疑. 【练习答案】 （三）探索与发现、思考与感悟 1. 在等比数列中，，，那么____________. 解：由已知，又 又， 答案：5 2.设是由正数组成的等比数列,公比,且,那么等于(　　) A.210 B.220 C.216 D.215 解：设 则成等比数列,公比为,由条件得,又，所以, 所以.故选B. 3. 有四个数，其中前三个成等比数列，其积为216，后三个数又成等差数列，四个数的和为21，求这四个数. 解：设这四个数为，依题意，解得， 所以这四个数为 4.已知数列满足，设，