专题14 圆与二次函数综合-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题14 圆与二次函数综合 1．如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0），与y轴相交于点C，⊙O1为△ABC的外接圆，交抛物线于另一点D． (1)求抛物线的解析式； (2)求cos∠CAB的值和⊙O1的半径； (3)如图2，抛物线的顶点为P，连接BP，CP，BD，M为弦BD中点，若点N在坐标平面内，满足△BMN∽△BPC，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】(1)y=x2+4x+3； (2)cos∠CAB=，⊙O1的半径为； (3)点N的坐标为（，−）或（，−）． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）如答图1所示，由△AOC为等腰直角三角形，确定∠CAB=45°，从而求出其三角函数值；由圆周角定理，确定△BO1C为等腰直角三角形，从而求出半径的长度； （3）如答图2所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用△BMN∽△BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N的坐标． (1) 解：∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-3，0），B（-1，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：y=x2+4x+3； (2) 解：由（1）知，抛物线解析式为：y=x2+4x+3， ∵令x=0，得y=3， ∴C（0，3）， ∴OC=OA=3，则△AOC为等腰直角三角形， ∴∠CAB=45°， ∴cos∠CAB=． 在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=． 如答图1所示，连接O1B、O1C， 由圆周角定理得：∠BO1C=2∠BAC=90°， ∴△BO1C为等腰直角三角形， ∴⊙O1的半径O1B=BC=； (3) 解：抛物线y=x2+4x+3=（x+2）2-1， ∴顶点P坐标为（-2，-1），对称轴为x=-2． 又∵A（-3，0），B（-1，0），可知点A、B关于对称轴x=-2对称． 如答图2所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点C（0，3）关于对称轴对称， ∴D（-4，3）． 又∵点M为BD中点，B（-1，0）， ∴M（−，）， ∴BM=； 在△BPC中，B（-1，0），P（-2，-1），C（0，3）， 由两点间的距离公式得：BP=，BC=，PC=2． ∵△BMN∽△BPC， ∴，即， 解得：BN=，MN=3． 设N（x，y），由两点间的距离公式可得： ， 解之得，，， ∴点N的坐标为（，−）或（，−）． 【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大．难点在于第（3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点N的坐标． 2．如图1，过点A（0，4）的圆的圆心坐标为C（2，0），B是第一象限圆弧上的一点，且BC⊥AC，抛物线经过C、B两点，与x轴的另一交点为D． （1）点B的坐标为（ ， ），抛物线的表达式为 . （2）如图2，求证：BD//AC； （3）如图3，点Q为线段BC上一点，且AQ=5，直线AQ交⊙C于点P，求AP的长． 【答案】（1）（6，2）（2）见解析（3）8 【详解】解：（1）过点B作BE⊥x轴于点E， ∵AC⊥BC， ∴∠ACO+∠BCE=90°， ∵∠ACO+∠OAC=90°，∠BCE+∠CBE=90°， ∴∠OAC=∠BCE，∠ACO=∠CBE． ∵在△AOC与△CEB中， ∴△AOC≌△CEB（AAS），则 CE=AO=4， BE=CO=2，OE=6， ∴B（6，2）． 将B（6，2），C（2，0）代入，得 ，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）证明：令，即，解得x=2或x=7． ∴D（7，0）． 如下图所示，过点B作BE⊥x轴于点E， 则DE=OD-OE=1，CD=OD-OC=5． 在Rt△BDE中，由勾股定理得：； 在Rt△BCE中，由勾股定理得： 在△BCD中，BC =，BD=，CD=5． ∴． ∴∠CBD=90°，即BD⊥BC． 又∵ AC⊥BC，∴BD//AC． （3）连接AB，BP， ∵AC⊥BC，BC=AC=， ∴∠ACB=90°，∠ABC=45°，∠APB=∠ACB=45°，AB=． ∴∠ABQ=∠APB． 又∵∠BAQ=∠PAB，∴△ABQ∽△APB． ∴，即，解得AP=8． 3．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点． （1）求二次函数的解析式及点E的坐标． （2）