专题12 先证切线再求线段长-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题12 先证切线再求线段长 1．如图，A、B、C是圆O上的三个点，AB＝AC，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点E，连接BD，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF． (1)求证：AF是⊙O的切线； (2)若AE＝3，DE＝5，求AB的长． 【答案】(1)见解析 (2)AB= 【分析】（1）连接OA，由∠CAF=∠CFA知∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF，结合∠ACB=∠BCD得∠ACD=2∠ACB，∠CAF=∠ACB，据此可知AFBC，从而得OA⊥AF，从而得证； （2）由AB=AC知∠ABC=∠ACB，结合∠ACB=∠BCD，推出∠BCD=∠ADC，得到ED=EC=5，同理可得EA=EB=3，可证得△BAE∽△BCA，再利用相似三角形的性质即可求解． （1） 证明：如图，连接OA， ∵AB=AC， ∴， ∴OA⊥BC， ∵CA=CF， ∴∠CAF=∠CFA， ∴∠ACD=∠CAF+∠CFA=2∠CAF， ∵∠ACB=∠BCD， ∴∠ACD=2∠ACB， ∴∠CAF=∠ACB， ∴AFBC， ∴OA⊥AF， ∴AF为⊙O的切线； （2） 解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， 又∵∠ACB=∠BCD，∠ABC=∠ADC， ∴∠BCD=∠ADC， ∴ED=EC=5， 同理可得EA=EB=3， ∵∠BAE=∠BCD=∠BCA，∠ABE=∠CBA， ∴△BAE∽△BCA， ∴，即， ∴AB=(负值已舍)． 【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 2．如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接OA． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点作于点，连接，根据切线的性质和角平分线的定义即可证明△OBD≌OBE，即可得出结论； （2）设分别交于点，连接，根据切线的性质和等腰三角形的性质先证明四边形是矩形，再由勾股定理求出AB的长度，利用“HL”证明，即可求出，根据图中阴影部分的面积为，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求解即可． （1） 如图，过点作于点，连接， 与相切于点， ， 平分， ， 在和中，， ∴△OBD≌OBE （AAS）， ， 是的半径， 又， 是的切线； （2） 如图，设分别交于点，连接， 的半径是2， ， 与相切于点， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 则图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．如图，点C在⊙O的直径AB的延长线上，点P是⊙O上任意一点，且满足∠BPC=∠A． (1)求证：PC与⊙O相切； (2)若圆的半径为，tan∠BPC=，求切线CP的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）要证明OP为圆的切线，只要证明∠1+∠2=90°即可； （2）先求得PB=2，AP=4，证明△CPB∽△CAP，利用相似三角形的性质得到，设BC=x，则PC=2x，AC=4x，利用AC=AB+BC，列方程，即可求解． (1) 证明：连接PO， ∵AB为直径， ∴∠APB=∠2+∠3=90°， 又∵OA=OP， ∴∠A=∠3， ∵∠1=∠A， ∴∠1+∠2=90°， 即OP为圆的切线； (2) 解：∵∠1=∠A，tan∠1=， ∴在Rt△ABC中，AB=2，tan∠A=， 即=， 设PB=a，则AP=2a， ∵AB2=PB2+AP2， ∴(2)2=a2+(2a)2， 解得a=2， ∴PB=2，AP=4， 又∵∠C=∠C，∠1=∠A ， ∴△CPB∽△CAP， ∴， 设BC=x，则PC=2x，AC=4x， 又∵AC=AB+BC， ∴4x=2+x， ∴x=． ∴PC=2x=． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 4．如图，在中，，E是BC的中点，以AC为直径的与AB边交于点D，连接DE． (1)求证：DE是的切线； (2)若，求直径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接OD，先证明∠BDC=90°，，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，从而推出，即可证明结论； （2）先求出BC的长，从而求出BD的长，然后证明△ABC∽△CBD得到，据此求解即可． (1) 解：连接OD， 为圆O的直径， ， ∴∠BDC=90°， ， ， 在中，为BC中点， ， ， ，即， ， 是圆O的切线； (2) 解：在中，为BC中点