专题15 圆与相似综合-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

专题15 圆与相似综合 1．如图，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC，P是△ABC外接圆⊙O上的一动点（点P与点C位于直线AB的异侧）连接AP、BP，延长AP到D，使PD=PB，连接BD． （1）求证：PC∥BD； （2）若⊙O的半径为2，∠ABP=60°，求CP的长； （3）随着点P的运动，的值是否会发生变化，若变化，请说明理由；若不变，请给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）+；（3）的值不变，. 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据圆周角定理得到∠APB=90°，得到∠APC=∠D，根据平行线的判定定理证明； （2）作BH⊥CP，根据正弦、余弦的定义分别求出CH、PH，计算即可； （3）证明△CBP∽△ABD，根据相似三角形的性质解答． 【详解】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC， ∴∠ABC=45°，∠ACB=90°， ∴∠APC=∠ABC=45°， ∴AB为⊙O的直径， ∴∠APB=90°， ∵PD=PB， ∴∠PBD=∠D=45°， ∴∠APC=∠D=45°， ∴PC∥BD； （2）作BH⊥CP，垂足为H， ∵⊙O的半径为2，∠ABP=60°， ∴BC=2，∠BCP=∠BAP=30°，∠CPB=∠BAC=45°， 在Rt△BCH中，CH=BC•cos∠BCH=， BH=BC•sin∠BCH=， 在Rt△BHP中，PH=BH=， ∴CP=CH+PH=+； （3）的值不变， ∵∠BCP=∠BAP，∠CPB=∠D， ∴△CBP∽△ABD， ∴=， ∴=，即=． 【点睛】本题考查的是圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数的概念，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 2．如图，△ABC内接于⊙O，，点为上的动点，且. (1)求的长度； (2)在点D运动的过程中，弦AD的延长线交BC的延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由. (3)在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：. 【答案】(1) ；(2) ；（3）证明见解析. 【分析】（1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB即可求得AB长； （2）连接DG，则可得AG为⊙O的直径，继而可证明△DAG∽△FAE，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG，连接BG，求得AF=3，FG=，继而即可求得AD•AE的值； （3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，通过证明△ADC≌△ADN，可得AC=AN，继而可得AB=AN，再根据AH⊥BN，即可证得BH=HD+CD. 【详解】 （1）过A作AF⊥BC，垂足为F，交⊙O于G， ∵AB=AC，AF⊥BC， ∴BF=CF=BC=1， 在RtΔAFB中，BF=1， ∴AB=； （2）连接DG， ∵AF⊥BC，BF=CF， ∴AG为⊙O的直径， ∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE， ∴△DAG∽△FAE， ∴AD：AF=AG：AE， ∴AD•AE=AF•AG， 连接BG，则∠ABG=90°， ∵BF⊥AG， ∴△BFG∽△AFB ∴BF2=AF•FG， ∵AF==3， ∴FG=， ∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×=10； （3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN， ∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°， ∴∠ADC=∠ADN， ∵AD=AD，CD=ND， ∴△ADC≌△ADN， ∴AC=AN， ∵AB=AC， ∴AB=AN， ∵AH⊥BN， ∴BH=HN=HD+DN=HD+CD. 【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键. 3．已知：AB为⊙O的直径，点C为弧AB的中点，点D为⊙O上一点，连接CD，交AB于点M，AE为∠DAM的平分线，交CD于点E． （1）如图1，连接BE，若∠ACD=22°，求∠MBE的度数； （2） 如图2，连接DO并延长，交⊙O于点F，连接AF，交CD于点N． ①求证：DM2+CN2=CM2； ②如图3，当AD=1，AB=时，请直接写出线段ME的长． 【答案】（1）；（2）①见解析；② 【分析】（1）由圆周角定理，得到∠CAB=∠ABC=∠ADC= 45°，由角平分线的定义和三角形的外角性质，得到∠CAE=∠CEA，结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求出答案； （2）①根据题意，将△ADM绕点A逆时针旋转90°，得到，连接，由旋转的性质，△ADM≌△，得到DM=，然后证明△AC≌△MA