特训05 期末历年解答压轴题（江苏最新精编）-2022-2023学年高一数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏教版2019必修第一册，江苏专用）

特训05 期末历年解答压轴题（江苏最新精编） 一、解答题 1．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）已知奇函数和偶函数满足． (1)求和的解析式； (2)存在，，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围. （1） 因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，； （2） 变形为，因为，所以，所以， 当时，在上有解，符合要求； 令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以； 若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为. 2．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知函数 (1)求证：； (2)若函数有两个不同零点，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，求导，证明即可；（2）设， 设，设的两根为，不妨设，由，，得，解得，同理，令即可解决. 【解析】（1）要证，即证 令， ， 令，得， 当时，，单增， 当时，，单减， 故， 即得证. （2）由题知 所以，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 又，，， 由题意的两个根为， 不妨设，且 设， 设的两根为， 不妨设， 由知， 故， 又，即， 又由于在上单减，故， 同理可得， 令，解得，，， 即得证. 3．（2022·江苏·南京师大附中高一期末）设函数的定义域为，对任意实数，有，且 (1)求证：； (2)若时，，求证：在上单调递减. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）首先可得，然后分别令、可证明； （2）令可得，然后结合条件和单调性的定义可证明. （1） 令，可得， 由，解得， 令可得， 化简得， 令可得 所以， 综上，； （2） 因为，所以时， 又因为，所以时，时， 任取， 令可得， 因为， 所以 所以上式可化为，所以函数在上单调递减. 4．（2022·江苏泰州·高一期末）若存在实数、使得，则称函数为、的“函数”． (1)若．为、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得为、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，请求出、的值；若不存在，请说明理由．（注：为自然数．） 【答案】(1)，； (2)存在；，. 【分析】（1）由已知条件可得出关于、的等式组，由此可解得函数、的解析式； （2）由偶函数的定义可得出，由函数的值域结合基本不等式以及对数函数的单调性可求得的值，进而可求得的值，即可得解. （1） 解：因为为、的“函数”， 所以①，所以． 因为为奇函数，为偶函数，所以，． 所以②． 联立①②解得，． （2） 解：假设存在实数、，使得为，的“函数”． 则． ①因为是偶函数，所以． 即，即， 因为，整理得． 因为对恒成立，所． ②， 因为，当且仅当，即时取等号． 所以， 由于的值域为，所以，且． 又因为，所以，． 综上，存在，满足要求． 5．（2022·江苏苏州·高一期末）已知函数，其中实数a＞0且a≠1. (1)若关于x的函数在上存在零点，求a的取值范围； (2)求所有的正整数m的值，使得存在a∈（0，1），对任意x∈[m，7]，均有不等式成立. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）求出g（x）的解析式，令g（x）＝0，则ax2＋x＝1，得到，利用换元法求解函数的值域，得到a的取值范围； （2）不等式转化为：1﹣a＞x|ax﹣1|，即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立，推出恒成立，利用函数的最值转化求解m的范围，然后可得答案. (1) ， 令g（x）＝0，则ax2＋x＝1， 由题意，，使得ax2＋x＝1，所以， 令，所以a＝t2﹣t，在上单调递增，所以. 所以a的取值范围为 (2) 当a∈（0，1）时，在（0，＋∞）上单调递增， 而∈（0，1），x∈[m，7]，， 所以， 所以， 即a﹣1＜ax2﹣x＜1﹣a，对任意x∈[m，7]成立， x＝7时，a﹣1＜49a﹣7＜1﹣a，所以， 所以函数y＝ax2﹣x的对称轴方程为， 所以时，恒成立， 当m≤3时，， 则﹣1＞4a2﹣4a，所以（2a﹣1）2＜0，不可能，舍去； 当4≤m≤6时，， 所以a（1﹣m2）＜1﹣m，即a（1＋m）＞1， 即a＞，而，所以，又 所有m的正整数的取值为6. 6．（2022·江苏盐城·高一期末）悬链线(Catenary)指的是一种曲线，指两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀，柔软(不能伸长)的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，其解析式为，