4.3.1.1 等比数列的概念与通项公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.3.1.1 等比数列的概念与通项公式 第四章 数列 凯里一中 尹 洪 08 十二月 2022 （一） 创设情境 揭示课题 （二） 阅读精要 研讨新知 例题研讨 学习例题的正规表达 学习例题的常规方法 从例题中学会思考 如何看例题 11 小组互动 15 16 （三） 探索与发现 思考与感悟 （四） 归纳小结 回顾重点 （五） 作业布置 精炼双基 付出与回报 付出与回报 付出与回报 75% 55% 85% 销售 额 第一季度 第二季度 0.75 0.25 销售额 第一季度 第二季度 0.55 0.45 销售额 第一季度 第二季度 0.84 0.16 属于不断付出与攀登的人 数学的美妙风景 【情景一】 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上的记录的数列. ① ② ③ 【情景二】《庄子天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”， 那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 【情景三】在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代， 那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是2, 4, 8, 16, 32, 64, ... ⑤ 【情景四】某人存入银行元，存期为5年，年利率为，那么的利息和本金加在一起算按照复利 （复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息），他5年内每年末得到 的本利和分别是 ⑥ 【思考】类比等差数列的研究，如何研究和发现以上数列的取值规律? 【分析】以上数列用表示，则 ① ② ③ 数列①满足； 数列②满足； 数列③满足； 数列④满足； 数列⑤满足；数列⑥满足. 【等比数列】一般地， 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，  那么这个数列就叫做等比数列(geometric progression), 这个常数叫做等比数列的公比 (common ratio), 公比通常用字母表示（显然）. 【等比中项】若三个数组成等比数列，则叫做 与的等比中项(geometric mean). 根据等比数列的定 义可以知道，. 【思考】你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 【与课本不同的公式的演绎】设一个等比数列的首项是，公比是.则 ，，，…，， 以上各式相乘得，，即 所以等比数列的通项公式是. 【推广】 （1） （2） 等比数列的通项公式的函数关系 变形为 当且时， 函数，有 阅读领悟课本 例1、例2、例3 例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项. 解法1：由，解得，所以或. 当时，， 当时，， 因此，的第5项是24或. 解法2：因为是与的等比中项，所以 所以或 因此，的第5项是24或. 例2已知等比数列的公比为，试用的第项表示. 解：由题意，得，两式相除得 所以 【发现】等比数列的任意一项都可以由这数列的某一项和公比表示. 解：设前三项的公比为，后三项的公差为，则数列的各项依次为， 依题意， ① ② 联立①②解得或 所以这个数列是或 例3数列共有5项， 前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132.求这个数列. 完成课本练习1、2、3、4、5 同桌交换检查，老师答疑. 【等比数列的判定与证明】 1. 已知数列的前项和为，. 求证：数列是等比数列. 证明： ，， 由已知 可得 两式相减得 即，所以 所以是首项为，公比为的等比数列. 【等差中项与等比数列的通项公式】 2. 已知等比数列的各项都为正数,且成等差数列,则的值是 (　　) A. B. C. D. 解：设等比数列的公比为,且, 因为成等差数列,所以,则, 化简得,解得，又，则, 所以，故选A. 【等比中项的应用】 3. 已知等比数列的公比为正数，且，则（ ） A. B. C. D. 解：因为成等比数列，所以又， 所以，所以，故选B 【等比数列通项公式的应用】 4. “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为（ ） A. B. C. D. 解：由已知,单音的频率构成一个首项为，公比为的等比数列，记为,共有13项. 由等比数列通项公式可知,，故选D 5. 设