4.3.1 等比数列的概念与通项公式 教案——2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

贵州省凯里一中 人教A版高中数学 选择性必修第二册 教学设计 尹 洪 QQ 7434510 第四章 数列 4.3 等比数列 4.3.1.1 等比数列的概念与通项公式 一、教学目标 1、正确理解等比数列的概念及其性质;了解通项公式的推导过程,掌握等比数列的通项公式. 2、通过对等比数列通项公式的推导培养学生的观察力及归纳推理能力,培养学生思维的深刻性和灵活性. 二、教学重点、难点 重点:等比数列的概念及其性质,利用通项公式逐步解决问题. 难点:等比数列通项公式推导过程中体现出的数学思想方法. 三、学法与教学用具 1、学法:学生在老师的引导下,通过阅读教材,自主学习、思考、交流、讨论和概括,从而完成本节课的教学目标. 2、教学用具:多媒体设备等 四、教学过程 (一)创设情景,揭示课题 【情景一】 两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上的记录的数列. ① ② ③ 【情景二】《庄子天下》中提到:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”, 那么从第1天开始,各天得到的“棰”的长度依次是 ④ 【情景三】在营养和生存空间没有限制的情况下,某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代,那么一个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生的后代个数依次是2, 4, 8, 16, 32, 64, ... ⑤ 【情景四】某人存入银行元,存期为5年,年利率为,那么的利息和本金加在一起算按照复利(复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息),他5年内每年末得到的本利和分别是 ⑥ 【思考】类比等差数列的研究,如何研究和发现以上数列的取值规律? (二)阅读精要,研讨新知 【分析】以上数列用表示,则 ① ② ③ 数列①满足; 数列②满足; 数列③满足; 数列④满足; 数列⑤满足;数列⑥满足. 【等比数列】一般地, 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列(geometric progression), 这个常数叫做等比数列的公比 (common ratio), 公比通常用字母表示(显然). 【等比中项】若三个数组成等比数列,则叫做 与的等比中项(geometric mean). 根据等比数列的定 义可以知道,. 【思考】你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗? 【与课本不同的公式的演绎】设一个等比数列的首项是,公比是.则 ,,,…,, 以上各式相乘得,,即 所以等比数列的通项公式是. 【推广】 (1) (2) 等比数列的通项公式的函数关系 变形为 当且时, 函数,有 【例题研讨】阅读领悟课本例1、例2、例3(用时约为2分钟,教师作出准确的评析.) 例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12,求的第5项. 解法1:由,解得,所以或. 当时,, 当时,, 因此,的第5项是24或. 解法2:因为是与的等比中项,所以 所以或 因此,的第5项是24或. 例2已知等比数列的公比为,试用的第项表示. 解:由题意,得,两式相除得 所以 【发现】等比数列的任意一项都可以由这数列的某一项和公比表示. 例3数列共有5项, 前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求这个数列. 解:设前三项的公比为,后三项的公差为,则数列的各项依次为, 依题意, ① ② 联立①②解得或 所以这个数列是或 【小组互动】完成课本练习1、2、3、4、5,同桌交换检查,老师答疑. 【练习答案】 (三)探索与发现、思考与感悟 【等比数列的判定与证明】 1. 已知数列的前项和为,. 求证:数列是等比数列. 证明: ,, 由已知 可得 两式相减得 即,所以 所以是首项为,公比为的等比数列. 【等差中项与等比数列的通项公式】 2. 已知等比数列的各项都为正数,且成等差数列,则的值是 ( ) A. B. C. D. 解:设等比数列的公比为,且, 因为成等差数列,所以,则, 化简得,解得,又,则, 所以,故选A. 【等比中项的应用】 3. 已知等比数列的公比为正数,且,则( ) A. B. C. D. 解:因为成等比数列,所以又, 所以,所以,故选B 【等比数列通项公式的应用】 4. “十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于,若第一个单音的频率为,则第八个单音的频率为( ) A. B. C. D. 解:由已知,单音的频率构成一个首项为,公比为的等比数列,记为,共有13项. 由等比数列通项公式可知,,故选D 5. 设等比数列满足,则的最大值为_. 解:方法一:由已知得