第03讲 函数的性质-2023年高考数学二轮高频考点透析与三年真题精练

第3讲 函数的性质 一、课标要求： 函数是现代数学中最基本的概念，是描述客观世界中变量关系和规律的最为基本的数学语言和工具，在解决实际问题汇总发挥重要作用。函数是贯穿高中数学课程的主线。 1．函数概念与性质 本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。 （2）函数性质 ①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。 ②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。 ③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。 二、知识梳理 1．单调性 （1）定义：对于定义域内某个区间上的任意两个自变量，． ①当时，都有，则称在区间上是增函数； ②当时，都有，则称在区间上是减函数． 如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间． 【说明】单调函数的图象不一定是连续的曲线，某些分段函数仍然可以在定义域上为单调函数，要通过图象掌握求含参数的分段函数具有单调性的参数取值范围问题 . （2） 用单调性定义证题的步骤： ①取值，②作差变形（变形务必彻底，最后形式一般为各个因式之积商），③定号． (1)(2);(3);(4) 【另外】当时可通过：①取值，②作商变形，③定号，来证明单调性． （3）单调性定义的变式：设，且，【必要时要规定，以便于等价转化】，那么 ①在是增函数恒成立（等号不能漏掉！） ②在是减函数恒成立（等号不能漏掉！） （4）判断函数的单调性的方法． ①定义法：一般地，设函数的定义域为A，区间，在区间M上是增函数；若在区间M上为增函数，，则有，减函数有类似结论（注意：在涉及不等式的求解．证明等有关问题时可以考虑构造函数，利用函数单调性求解）． ②用已知函数的单调性判断（下列函数都在公共单调区间上）： 增函数+增函数=增函数； 减函数+减函数=减函数； 复合函数单调性； 奇（偶）函数在对称区间上的单调性相同（反）． ③借助图像判断函数单调性． ④导数法：对可导函数在上是增函数；在上是减函数（其中导致导数为0的点是孤立的）． （5） 函数单调性性质的应用： ①若为增函数，则；②若为减函数，则． 常结合奇偶性解抽象函数不等式，化得具体的不等式（组），具体应用时还应要求，在定义域内！ 【转化时，先要转化（写）完整，然后再解不等式组；又如求函数定义域的题，也应如此！】 2．函数的奇偶性 （1）判定函数奇偶性的方法：函数具有奇偶性的必要条件是定义域为关于原点对称的区间． 判断函数奇偶性首先确定函数定义域． ①定义法：，且； ②用已知函数奇偶性判定（下列函数都在公共定义域内）：(i)奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；奇函数偶函数=非奇非偶（非零函数）函数；奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数．(ii)复合函数奇偶性，内偶则偶，两奇为奇． ③借助图像确定奇偶性． （2）奇偶函数的性质． ①定义域含0的奇函数必过原点； ②奇函数若存在最大值和最小值，则它们的和为0； ③是偶函数，则； ④既奇又偶的函数解析式必为； ⑤对于奇（偶）函数，已知轴一侧的图像．解析式．单调性，能够确定出轴另一侧的图像．解析式．单调性．题目中出现与的函数值问题，需要考虑函数的奇偶性． （3）奇偶函数性质的推广（对称性问题） 已知函数． ①满足关于直线对称，特别地，关于 轴对称； ②满足关于点对称；特别地，关于原点中心对称； ③函数与函数的图象关于轴对称； ④函数与函数的图象关于轴对称； ⑤函数与函数的图象关于对称． 3．函数的周期性． （1）已知函数，若对任意，存在非零正常数T，满足： ①，周期为T； ②，周期为2T；，周期为2T； ③，周期为2T；，周期为2T； ④，周期为4T； ⑤，周期为6T． （2）对称性与周期性关系：函数若具有两个对称性（中心对称．轴对称）及周期性三个性质中的两个，则必定具有第三个性质． ①若的图象关于直线和对称（），则函数是周期为的周期函数； ②若的图象关于点和对称（），则是周期为的周期函数； ③若的图象关于直线及点对称（），则是周期为的周期函数． 三、查缺补漏 1．结合函数图象研究函数性质 如图所示，以函数为核心，其核心内容包括函数的图象与性质，函数的图象包括基本初等函数图形的作法及图象变换，函数的性质主要包括函数的定义域．解析式．值域．奇偶性．单调性．周期性．对称性及特殊点，函数知识的外延主要体现在函数与方程（函数零点）及函数与不等式的结合，而函数与方程（函数零点）及函数与不等式问题可通过转化思想，利用函数图形与性质