专题11 函数的恒成立和有解的问题-备战2022-2023学年高一数学上学期期末考试真题汇编（人教B版2019必修第二册）

专题11 函数的恒成立和有解的问题（原卷版） 热点题型归纳 · 题型一： 函数的恒成立问题 · 题型二： 函数的能成立或有解问题 · 题型一： 函数的恒成立问题 【典例精析】 已知不等式，若对于任意的且该不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意转化为，令，得到在上恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意得，当且时，不等式， 即为， 令，因为且，可得， 所以在上恒成立， 令 根据二次函数的性质，可得当时，取得最大值，最大值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【提分点拨】 1. 二次函数的恒成立问题，主要从开口方向和根的判别式来考虑； 2. 也可以分离变量，转化为求最值的问题； 3. 也可以直接根据单调性解不等式。 【同类题型演练】 1．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·北京延庆·高二期末）已知不等式，若对于任意的且该不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（　　） A．（-，2] B．（-，2） C．[2，+） D．（2，+） 4．（2022·辽宁营口·高二期末）已知函数，，对于任意，存在，有，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2022·河南商丘·高二期末（文））已知定义在R上的函数满足且，． (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围． 6．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数，． (1)若对于任意的，恒成立，求实数k的取值范围； (2)若，且的最小值为，求实数k的值． 7．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知，函数 (1)若函数过点，求此时函数的解析式； (2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围. 8．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知函数，对于定义域内任意都满足. (1)求的解析式； (2)已知定点，且是（）图像上任意一点，那么求、两点距离的最小值；（直角坐标平面上两点、的距离公式为）. (3)若不等式：，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 9．（2022·浙江省杭州第九中学高一期末）定义：若函数对于其定义域内的某一数，有，则称是的一个不动点.已知函数（）. (1)当，时，求函数的不动点； (2)若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 10．（2022·浙江·杭州四中高一期末）已知函数在上为奇函数，，. (1)求实数的值； (2)指出函数的单调性（说明理由，不需要证明）； (3)设对任意，都有成立；请问是否存在的值，使最小值为，若存在求出的值. 11．（2022·黑龙江·牡丹江市第二高级中学高二期末）函数对一切实数均有，且． (1)求的值； (2)当，恒成立时，求实数的取值范围． 12．（2022·四川绵阳·高一期末）设函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)当时，不等式对一切恒成立，求实数a的取值范围． · 题型二： 函数的能成立或有解问题 【典例精析】 已知函数的图象经过定点，若为正整数，那么使得不等式在区间上有解的的最大值是__________. 【答案】 【分析】由可得出，由已知不等式结合参变量分离法可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】由已知可得，则，解得，故， 由得， 因为，则，可得， 令，，则函数在上单调递减， 所以，，. 因此，正整数的最大值为. 故答案为：. 【提分点拨】 1. 存在性问题可以转化成不等式的问题，但是注意和恒成立问题的区别； 2. 直接构造函数，利用函数的单调性和最值求解； 3. 注意数形结合的应用。 【同类题型演练】 1．（2022·辽宁·辽阳市第一高级中学高二期末）已知函数，若有且只有两个整数解，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2022·山西运城·高二期末）已知函数的定义域为R，且函数的图象关于点对称，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 3．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高二期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2022·辽宁·沈阳