专题09 函数的单调性、奇偶性和周期性的应用-备战2022-2023学年高一数学上学期期末考试真题汇编（人教B版2019必修第二册）

专题09 函数的单调性、奇偶性和周期性的应用（原卷版） 热点题型归纳 · 题型一： 利用函数的奇偶性求参数的值 · 题型二： 解关于抽象函数的不等式 · 题型三： 利用奇偶性和单调性解不等式 · 题型四： 利用周期性求函数值 · 题型一：利用函数的奇偶性求参数的值 【典例精析】 已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数. (1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，在上单调递增，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用偶函数的性质求，利用单调性的定义证明函数的单调性即可； （2）利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可. （1） 因为为偶函数，且，所以，解得，又，所以,； 设，则，因为，所以，，所以，所以在上单调递增. （2） 因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增，，所以，平方得，又因为对任意不等式恒成立，所以，解得. 【提分点拨】 1. 定义法：利用奇偶函数的定义式来求参数值； 2. 特殊值：如奇函数可用f（-1）=-f（1），偶函数可以f（-1）=f（1）来求参数值（1和-1必须在定义域内）； 3. 奇函数定义域中有0，在f（0）=0； 4. 利用定义域的对称性：定义域对应端点必须互为相反数。 【同类题型演练】 1．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））已知为偶函数，则实数（    ） A．1 B．-1 C．0 D． 2．（2022·上海·曹杨二中高二期末）已知是奇函数，且当时，，则______. 3．（2022·山东临沂·高二期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则________. 4．（2022·上海市向明中学高一期末）设函数，，函数，，. (1)当函数是奇函数，求； (2)证明是严格增函数； (3)当是奇函数时，解关于的不等式. 5．（2022·浙江·杭州高级中学高一期末）已知实数大于0，定义域为的函数是偶函数. (1)求实数的值并判断并证明函数在上的单调性； (2)对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．（2022·湖北黄石·高一期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值; (2)解关于的不等式; (3)设，若函数与图象有个公共点，求实数的取值范围. 7．（2022·全国·高一期末）已知定义域为R的函数 是奇函数. (1)求a、b的值； (2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数; (3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围 8．（2022·天津南开·高一期末）已知函数是奇函数，并且函数的图像经过点. (1)求实数a，b的值； (2)求函数在时的值域. 9．（2022·福建·福州四中高一期末）已知， (1)若函数满足，求实数的值； (2)（i）在（1）的条件下，判断函数在上是否有零点，并说明理由： （ii）若函数在R上有零点，求的取值范围. 10．（2022·湖南·湘阴县教育科学研究室高一期末） 已知函数为奇函数． (1)求实数的值； (2)若对任意的，有恒成立，求实数的取值范围． · 题型二：解关于抽象函数的不等式 【典例精析】 已知是定义域为R的偶函数，f(5.5)＝2，g(x)＝(x－1).若g(x＋1)是偶函数，则＝(    ) A．－3 B．－2 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据g(x＋1)得到g(x)关于x＝1对称，得到，结合g(x)＝(x－1)和f(x)为偶函数即可得f(x)周期为4，故可求出f(2.5)＝2，则即可求值﹒ 【详解】为偶函数，则关于对称，即， 即，即， 关于对称，又f(x)是定义域为R的偶函数， ∴， ∴f(x－4)＝f[(x－2)－2]＝－f(x－2)＝－[－f(x)]＝f(x)，即f(x－4)＝f(x)， 周期为， ∴， . 故选：D. 【提分点拨】 利用函数的奇偶性和单调性，将抽象函数具体化，化抽象为形象，也可结合函数的图像进行解答。 【同类题型演练】 1．（2022·新疆·柯坪湖州国庆中学高二期末（理））已知是定义域为R的奇函数，满足，若，则（    ） A．2 B． C．0 D．2022 2．（2022·贵州黔西·高二期末（理））已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（2022·内蒙古·满洲里市第一中学高二期末（文））设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，，且f（3）＝0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（    ） A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) 4．（2022·福建省尤溪第一中学高二期末）已知函数定义在R上，对任意实数有若函数的图象关于直线对称，，则（    ） A． B．